Задача 71591 Решите дифференциальное уравнение y'' -...

xlopokk

17 мая 2023 г. в 19:01

Решите дифференциальное уравнение

y'' – 2y' + y = e^x / (x²+1), y(0) = 0, y'(0) = 0

exponenta

17 мая 2023 г. в 19:33

★

Решаем однородное уравнение:
y``–2y`+y=0

Составим характеристическое уравнение:
k²–2k+1=0 ;
k₁=k₂=1– корни действительные кратные

y_{однород}=C₁e^x+C₂·x·e^x

Применяем метод вариации произвольных постоянных

Для этого константы С₁ и С₂ считаем зависящими от х

y=C₁(х)·e^x+C₂(х)·x·e^x (#)


C₁ x и С₂(х) находим из системы:

{ C’₁(x)·e^x+C`<sub>2</sub>(x)·x·e<sup>x</sup>=0;
{C`₁(x)·(e^x)`+C’<sub>2</sub>(x)(x·e<sup>x</sup>)`=e^x/(x²+1)

{ C’₁(x)+C`<sub>2</sub>(x)·x=0 ⇒ C’<sub>1</sub>(x)=–C`₂(x)·x и подставляем во второе:
{C`₁(x)·e^x+C’₂(x)(e^x+x·e^x)=e^x/(x²+1)


{ C’₁(x)=–C`<sub>2</sub>(x)·x
{–C`₂(x)·x ·e^x+C’₂(x)(e^x+x·e^x)=e^x/(x²+1) ⇒ С`₂(x)=1/(x²+1) ⇒ C₂(x)= ∫dx/(x²+1) =arctgx+C₂

C`₁(x)=–(arctgx+C₂)·x

C₁(x)= ∫ (–(arctgx+C₂)·x)dx=– ∫ x·arctgxdx+C₂ ∫ xdx=

u=arctgx
dv=xdx


du=dx/(x²+1)

v=(x²/2)


C₁(x)= ∫ (–(arctgx+C₂)·x)dx=– (x²/2)·arctgx+(1/2) ∫x²/(x²+1)dx +C₂ ∫ xdx=– (x²/2)·arctgx+(1/2)x–(1/2)arctgx+C₂·(x²/2)+C₁


Подставляем в

y=C₁(х)·e^x+C₂(х)·x·e^x (#)

y=(– (x²/2)·arctgx+(1/2)x–(1/2)arctgx+C₂·(x²/2)+C₁)·e^x+(arctgx+C₂)·x·e^x




y(0)=0

⇒
0=C₁)·e⁰ ⇒ C₁=0

y`(0)=0

y`=((– (x<sup>2</sup>/2)·arctgx+(1/2)x–(1/2)arctgx+C<sub>2</sub>·(x<sup>2</sup>/2)+C<sub>1</sub>)·e<sup>x</sup>+(arctgx+C<sub>2</sub>)·x·e<sup>x</sup>)`

считайте производную.