Задача 71047 Даны четыре точки А1(4,2,10), А2(1,2,0),...
Условие
Вычислить:
а) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3
б)косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3
Решение
[m]\vec{A_{1}A_{3}}=(3-4;5-2;7-10)=(-1;3;-3)[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{4}}=(2-4;-3-2;7-10)=(-2;-5;-5)[/m]
a)
Составим уравнение плоскости [m]А_{1}A_{2}A_{3}[/m]
Пусть М(x;y;z) - произвольная точка плоскости
Тогда векторы
[m]\vec{A_{1}M}=(x-4;y-2;z-10)[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{2}}=(1-4;2-2;0-10)=(-3;0;-10)[/m]
[m]\vec{A_{1}A_{3}}=(3-4;5-2;7-10)=(-1;3;-3)[/m]
КОМПЛАНАРНЫ.
Смешанное произведение этих векторов равно 0
[m]\begin {vmatrix} x-4&y-2&z-10\\-3&0&-10\\-1&3&-3\end {vmatrix}=0[/m]
Раскрываем определитель по правилу треугольника:
[m]0(x-4)+10(y-)+9(z-10)-0(z-10)+30(x-4)-9(y-2)=0[/m]
[m]30x+y-9z-32=0[/m] - уравнение плоскости [m]А_{1}A_{2}A_{3}[/m]
[m]\vec{N}=(30;1;-9)[/m] - нормальный вектор плоскости [m]А_{1}A_{2}A_{3}[/m]
[m]|\vec{N}|=\sqrt{30^2+1^2+(-9)^2}=\sqrt{982}[/m]
б) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью [m]А_{1}A_{2}A_{3}[/m] это угол между нормальными векторами этих плоскостей:
[m]\vec{k}=(0;0;1)[/m] и [m]\vec{N}=(30;1;-9)[/m]
[m]сos ∠ (Oxy, пл А_{1}A_{2}A_{3})=cos ∠ (\vec{k}, \vec{N})=\frac{\vec{k}\cdot \vec{N}}{|\vec{k}|\cdot | \vec{N}|}=\frac{0\cdot 30+0\cdot 1+1\cdot (-9)}{1\cdot \sqrt{982}}=-\frac{9}{982}\sqrt{982}[/m]
a)
[m]\vec{q}=\vec{A_{1}A_{4}}[/m]-направляющий вектор прямой [m]A_{1}A_{4}[/m]
m=-2
n=-5
p=-5
[m]\vec{n}=(30;1;-9)[/m] - нормальный вектор плоскости [m]А_{1}A_{2}A_{3}[/m]
A=30
B=1
C=-9
[m]\vec{A_{1}A_{4}}\cdot \vec{N}=(-2)\cdot 30+(-5)\cdot 1+(-5)\cdot (-9)=-20[/m]
[m]|\vec{A_{1}A_{4}}|=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2+(-5)^2}=\sqrt{54}[/m]
[m]sin ∠ (A_{1}A_{4}, пл А_{1}A_{2}A_{3})=sin ∠ (\vec{A_{1}A_{4}}, \vec{N})=\frac{|\vec{A_{1}A_{4}}\cdot \vec{N}|}{|\vec{A_{1}A_{4}}|\cdot | \vec{N}|}=\frac{10}{4419}\sqrt{1473}[/m]