Задача 70497 Найти все значения параметра a, при...
Условие
p=9.
Решение
Дробь равна 0 ⇔ [m]\left\{\begin {matrix}x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0\\x^2-10x+9 ≠ 0\end {matrix}\right.[/m]
[m]x^2-10x+9 ≠ 0[/m]
D=100-36=64
[m]x ≠ 1[/m]; [m]x ≠9[/m]
При каких значениях параметра a
[m]\left\{\begin {matrix}x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0\\x ≠ 1 \\x ≠9 \end {matrix}\right.[/m]
система имеет единственное решение на отрезке [0; 9].
Квадратное уравнение [m]x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0[/m] - уравнение с параметром
D=(3a-1)^2-4*(2a^2-2)=9a^2-6a+1-8a^2+8=a^2-6a+9=(a-3)^2=0 ⇒
уравнение имеет [b]один корень[/b] или два корня [b]два корня[/b] и этот корень x ≠ 1 и x ≠9
1)
если
[b]D=0[/b]
то
a-3=0
a=3
уравнение имеет единственный корень
x=4
4 ≠ 1
4 ≠ 9
4 ∈ [0;9]
при a=3 уравнение имеет один корень и этот корень принадлежит отрезку [0;9]
2)
если
[b]D >0[/b]
при этом a ≠ 3
корни
[m]x_{1}=\frac{(3a-1)-(a-3)}{2}[/m] [m]x_{2}=\frac{(3a-1)+(a-3)}{2}[/m]
[m]x_{1}=a+1[/m] [m]x_{2}=2a-2[/m]
а) один из корней не принадлежит отрезку [0;9]
второй корень принадлежит этому отрезку, но отличен от 1 и от 9
[m]\left\{\begin {matrix}a+1>9\\0<2a-2<9\\2a-2 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}a+1<0\\0<2a-2<9\\2a-2 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}a>8\\2<2a<11\\2a ≠3 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}a<-1\\2<2a<11\\a ≠3\end {matrix}\right.[/m]
обе систему не имеют решений
[m]\left\{\begin {matrix}2a-2>9\\0<a+1<9\\a+1 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}2a-2<0\\0<a+1<9\\a+1 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}2a>11\\-1<a<8\\a ≠0 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}a<1\\-1<a<8\\a ≠0 \end {matrix}\right.[/m]
5,5<a<8 или -1 < x<0 или 0 < x < 1
Объединяем ответы:
при a=3;
a ∈ (5,5;8);
a ∈ (-1;0);
a ∈ (0;1)
О т в е т. a ∈ (-1;0)U (0;1)U{3}U (5,5;8)