Задача 70497 Найти все значения параметра a, при...

64256e7e1d8ddb3fa9a3b5e9

30 марта 2023 г. в 15:57

Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; p].
p=9.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30 марта 2023 г. в 19:39

★

Дробь равна 0 ⇔ [m]\left\{\begin {matrix}x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0\\x^2-10x+9 ≠ 0\end {matrix}\right.[/m]

[m]x^2-10x+9 ≠ 0[/m]
D=100–36=64
[m]x ≠ 1[/m]; [m]x ≠9[/m]

При каких значениях параметра a
[m]\left\{\begin {matrix}x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0\\x ≠ 1 \\x ≠9 \end {matrix}\right.[/m]
система имеет единственное решение на отрезке [0; 9].

Квадратное уравнение [m]x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0[/m] – уравнение с параметром
D=(3a–1)²–4·(2a²–2)=9a²–6a+1–8a²+8=a²–6a+9=(a–3)²=0 ⇒
уравнение имеет один корень или два корня два корня и этот корень x ≠ 1 и x ≠9

1)
если
D=0
то
a–3=0
a=3
уравнение имеет единственный корень

x=4

4 ≠ 1
4 ≠ 9
4 ∈ [0;9]
при a=3 уравнение имеет один корень и этот корень принадлежит отрезку [0;9]


2)
если

D >0

при этом a ≠ 3

корни

[m]x_{1}=\frac{(3a-1)-(a-3)}{2}[/m] [m]x_{2}=\frac{(3a-1)+(a-3)}{2}[/m]

[m]x_{1}=a+1[/m] [m]x_{2}=2a-2[/m]

а) один из корней не принадлежит отрезку [0;9]
второй корень принадлежит этому отрезку, но отличен от 1 и от 9


[m]\left\{\begin {matrix}a+1>9\\0<2a-2<9\\2a-2 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}a+1<0\\0<2a-2<9\\2a-2 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}a>8\\2<2a<11\\2a ≠3 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}a<-1\\2<2a<11\\a ≠3\end {matrix}\right.[/m]

обе систему не имеют решений

[m]\left\{\begin {matrix}2a-2>9\\0<a+1<9\\a+1 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}2a-2<0\\0<a+1<9\\a+1 ≠1 \end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}2a>11\\-1<a<8\\a ≠0 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}a<1\\-1<a<8\\a ≠0 \end {matrix}\right.[/m]

5,5<a<8 или –1 < x<0 или 0 < x < 1

Объединяем ответы:

при a=3;
a ∈ (5,5;8);
a ∈ (–1;0);
a ∈ (0;1)

О т в е т. a ∈ (–1;0)U (0;1)U{3}U (5,5;8)