Через точку B1 проводим B1O||A1F
⇒ A1F || пл АОВ1
Расстояние от прямой A1F до пл АОВ1 – расстояние от любой точки прямой A1F до пл АОВ1
Вводим систему координат как на рисунке 1
( рис. 2 изображение шестиугольника)
A(0;0;0)
O((1/2);(√3)/2;0)
B1(1;0;1)
A1(0;0;1)
Составляем уравнение плоскости, проходящей через точки A(0;0;0)
O((1/2);(√3)/2;0)
B1(1;0;1)
Общее уравнение плоскости имеет вид:
ax+by+cz+d=0
Подставляем координаты точек
A(0;0;0)
a·0+b·0+c·0+d=0 ⇒ d=0
B1(1;0;1)
a·1+b·0+c·1+0=0 ⇒a+c=0
c=–a
O((1/2);(√3)/2;0)
a·(1/2)+b·(√3)/2+c·0=0 ⇒(1/2)·a+(√3)·b/2=0 ⇒ a+√3b=0
b=–a/√3
Подставляем
c=–a
b=–a/√3
d=0
в общее уравнение плоскости :
ax+by+cz+d=0
ax–(a/√3)·y–az=0
Делим на a
x–(1/√3)y–z=0 – уравнение плоскости АОВ1
По формуле ( cм. скрин):
[m]d=\frac{|0-\frac{1}{\sqrt{3}}-0|}{\sqrt{1^2+(-\frac{1}{\sqrt{3}})^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{7}}[/m]