Задача 70442 Вычислить объём тела, полученного...

641eec8621db212e5079b144

28 марта 2023 г. в 17:37

Вычислить объём тела, полученного вращением площади, ограниченной линией x²+y²–2x–2y=0, вокруг оси oy.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28 марта 2023 г. в 19:20

★

x²+y²–2x–2y=0

Выделяем полные квадраты

(x²–2x)+(y²–2y)=0

(x²–2x+1)+(y²–2y+1)=2

(x–1)²+(y–1)²=2 – уравнение окружности с центром (1;1); R=√2

Уравнение окружности состоит из двух ветвей

(x–1)²=2–(y–1)²

x–1= ± √2–(y–1)²

x=1+√2–(y–1)²

x=1–√2–(y–1)²

при x=1
y₁=1–√2 – наименьшее значение
y₂=1+√2 – наибольшее значение


[m]V=π ∫ _{1-\sqrt{2}}^{1+\sqrt{2}}(1+\sqrt(2-(y-1)^2))^2dy- π ∫^{0} _{1-\sqrt{2}}(1-\sqrt(2-(y-1)^2)^2dy -π ∫ _{2}^{1+\sqrt{2}}(1-\sqrt(2-(y-1)^2)^2dy=[/m]