Задача 70402 1. Вычислить интеграл:...

636abe6f4f66263bf23fd6df

27.03.2023 10:47:51

1. Вычислить интеграл: [m]\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dy}{1+y^2}[/m]
2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: [m]\int_{-1}^{1}dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{1-x^2}f(x; y)dy[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27.03.2023 17:17:06

★

1.
[m] ∫ ^{1}_{0}dx( ∫ ^{1}_{0}\frac{x^2}{1+y^2}dy)=[/m] считаем внутренний интеграл по переменной y, при этом х^2 является для него константой, которую выносим за скобки:

[m]∫ ^{1}_{0}x^2(arctgy)|^{1}_{0} dx=∫ ^{1}_{0}x^2(arctg1- arctg0) dx=(arctg1- arctg0)∫ ^{1}_{0}x^2 dx=[/m]

[m]arctg1=\frac{π}{4}[/m]

[m]arctg0=0[/m]

[m]=\frac{π}{4}∫ ^{1}_{0}x^2 dx=\frac{π}{4}(\frac{x^3}{3})|^{1}_{0}=\frac{π}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{π}{12}[/m]