Задача 70392 Найдите все значения а, при которых...
Условие
[b]log(-a) (3+2x^4)/(1+x^4) + log(-a) (5+4x^4)/(1+x^4) > 1[/b]
выполняется для всех действительных значений x.
Решение
Заметим, что выражения под логарифмами положительны при любом x.
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения.
[m]log_{-a} (\frac{3+2x^4}{1+x^4} \cdot \frac{5+4x^4}{1+x^4}) > 1[/m]
[m]log_{-a} (\frac{3+2x^4}{1+x^4} \cdot \frac{5+4x^4}{1+x^4}) > log_{-a}(-a)[/m]
[m]log_{-a} \frac{(3+2x^4)(5+4x^4)}{(1+x^4)^2} > log_{-a}(-a)[/m]
Дальше возможно два случая.
1) a ∈ (-1; 0); -a ∈ (0; 1), тогда логарифмы по основанию (-a) убывают.
Это значит, при переходе к числам под логарифмами знак меняется.
[m]\frac{(3+2x^4)(5+4x^4)}{(1+x^4)^2} < -a[/m]
[m]\frac{(3+2x^4)(5+4x^4)}{(1+x^4)^2} + \frac{a(1+x^4)^2}{(1+x^4)^2} < 0[/m]
Сделаем замену: x^4 = y ≥ 0 при любом x.
[m]\frac{(3+2y)(5+4y)}{(1+y)^2} + \frac{a(1+y)^2}{(1+y)^2} < 0[/m]
Так как знаменатель (1+y)^2 > 0 при любом y ≥ 0, то числитель:
(3 + 2y)(5 + 4y) + a(1+y)^2 < 0
15 + 22y + 8y^2 + a + 2ay + ay^2 < 0
(a + 8)y^2 + (2a + 22)y + (a + 15) < 0
Получаем квадратное неравенство.
Оно должно выполнятся для всех y ≥ 0, то есть для всех x.
Если квадратный трехчлен отрицательный при любом y, то
коэффициент при y^2 < 0 и D < 0.
D/4 = (a+11)^2 - (a+8)(a+15) = a^2+22a+121-a^2-23a-120 = 1 - a
Так как a < 0, то 1 - a > 0, D/4 > 0, значит, парабола пересекает ось Ox в двух точках, то есть неравенство будет верно на каком-то промежутке,
а не при любом x.
Поэтому для a ∈ (-1; 0) решений нет.
2) a < -1; -a > 1, тогда логарифмы по основанию (-a) возрастают.
Это значит, при переходе к числам под логарифмами знак остается.
[m]\frac{(3+2x^4)(5+4x^4)}{(1+x^4)^2} > -a[/m]
[m]\frac{(3+2x^4)(5+4x^4)}{(1+x^4)^2} + \frac{a(1+x^4)^2}{(1+x^4)^2} > 0[/m]
[m]\frac{(3+2y)(5+4y)}{(1+y)^2} + \frac{a(1+y)^2}{(1+y)^2} > 0[/m]
Дальше решение такое же, только знак другой:
(3 + 2y)(5 + 4y) + a(1+y)^2 > 0
15 + 22y + 8y^2 + a + 2ay + ay^2 > 0
(a + 8)y^2 + (2a + 22)y + (a + 15) > 0
Если квадратный трехчлен положительный при любом y, то
коэффициент при y^2 > 0 и D < 0.
D/4 = (a+11)^2 - (a+8)(a+15) = a^2+22a+121-a^2-23a-120 = 1 - a
Так как a < 0, то 1 - a > 0, D/4 > 0, значит, парабола пересекает ось Ox в двух точках, то есть неравенство будет верно на каком-то промежутке,
а не при любом x.
Поэтому для a < -1 решений нет.
Ответ: ни при каком а не будет так, что неравенство верно при любом x.
