Задача 69342 ...
Условие
(2x+1)log5 10 + log5(4^x - 1/10) ≤ 2x-1
Решение
[m] 4^{x}-\frac{1}{10}>0[/m]
так как
[m]log_{5}10=log_{5}2\cdot 5= log_{5}2+log_{5}5=log_{5}2 + 1[/m]
Неравенство принимает вид:
[m](2x+1)\cdot (log_{5}2+1) + log _ {5} ( 4^{x}-\frac{1}{10}) ≤ 2x-1[/m]
Раскрываем скобки:
[m](2x+1)\cdot log_{5}2 + (2x+1) + log _ {5} ( 4^{x}-\frac{1}{10}) ≤ 2x-1[/m]
Применяем свойства логарифма степени:
k * log _ (a) b= log_ (a) b ^(k)
[m] log _ {5} 2^{2x+1}+ log _ {5} ( 4^{x}-\frac{1}{10}) ≤-2[/m]
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения
[m] log_{5} 2^{2x+1}\cdot ( 4^{x}-\frac{1}{10}) ≤ -2[/m]
Так как 1=log_(a)a
[m] log_{5} 2^{2x+1}\cdot ( 4^{x}-\frac{1}{10}) ≤ -2log_{5}5[/m]
Применяем свойства логарифма степени:
k * log _ (a) b= log_ (a) b ^(k)
[m] log_{5} 2^{2x+1}\cdot ( 4^{x}-\frac{1}{10}) ≤ log_{5}5^{-2}[/m]
Применяем свойство монотонности логарифмической функции
[m] 2^{2x+1}\cdot ( 4^{x}-\frac{1}{10}) ≤ 5^{-2}[/m]
[m]2^{2x+1}\cdot 4^{x} - 2^{2x+1}\cdot \frac{1}{10} ≤ \frac{1}{25}[/m]
Получили показательное неравенство.
Упрощаем, применяя свойства степеней.
[m]2\cdot (2^{2x})^2-\frac{1}{5}(2^{2x})≤ \frac{1}{25}[/m]
Квадратное неравенство
[m]50\cdot (4^{x})^2-5\cdot (4^{x})-1≤0[/m]
Учитывая ОДЗ получаем систему неравенств:
[m]\left\{\begin {matrix}4^{x}-\frac{1}{10}>0\\50\cdot (4^{x})^2-5\cdot (4^{x})-1≤0\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}4^{x}>\frac{1}{10}>0\\0 <4^{x}≤\frac{2}{10}\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\frac{1}{10} < 4^{x} ≤ \frac{2}{10}[/m] ⇒ [m]( log_{4}\frac{1}{10}; log_{4}\frac{2}{10}][/m]
