Задача 69312 а) Решите уравнение:...

63ea4af2c46c0173a777d78f

16 февраля 2023 г. в 16:10

а) Решите уравнение: 4cos²x+10cos(x+3π)+4 = 0

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [—3π/2; 0]

626fab9a354ab65fb2f43abb

16 февраля 2023 г. в 20:34

★

4cos² x + 10cos(x + 3π) + 4 = 0
А) По формулам приведения:
cos(x + 3π) = cos(x + π) = – cos x
Получаем:
4cos² x – 10cos x + 4 = 0
Замена cos x = y ∈ [–1; 1] при любом x.
Получаем квадратное уравнение:
4y² – 10y + 4 = 0
D = 10² – 4·4·4 = 100 – 64 = 36 = 6²

y1 = (10 – 6)/8 = 4/8 = 1/2
cos x = 1/2
x = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z

y2 = (10 + 6)/8 = 16/8 = 2 > 1
Здесь корней нет.

Б) На промежутке [–3π/2; 0] = [–9π/6; 0] будет корень:
x1 = – π/3