Задача 69236 Вычислить интегралы:...
Условие
Решение
[m] ∫\frac{3\sqrt{x}-2cos\frac{1}{x^2}}{x^3}dx=[/m]
делим[i] почленно [/i]каждое слагаемое числителя на знаменатель:
[m] ∫ (\frac{3\sqrt{x}}{x^3}- \frac{2cos\frac{1}{x^2}}{x^3} ) dx=[/m]
интеграл от суммы равен сумме интегралов:
[m] =∫\frac{3\sqrt{x}}{x^3}dx-∫ \frac{2cos\frac{1}{x^2}}{x^3}dx=[/m]
постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
[m] =3∫x^{\frac{1}{2}-3}dx-2 ∫ cos\frac{1}{x^2}\cdot \frac{1}{x^3}dx=[/m]
так как [m]d(\frac{1}{x^2})=(x^{-2})`dx=-2x^{-3}dx=-\frac{2}{x^3}dx[/m] ⇒ [m]\frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2}d(\frac{1}{x^2})[/m]
[m]=3∫x^{-\frac{5}{2}}dx+ ∫cos\frac{1}{x^2}d(\frac{1}{x^2})= [/m]
табличные интегралы:
[m]=3\frac{x^{-\frac{5}{2}+1}}{-\frac{5}{2}+1}+ sin\frac{1}{x^2}+C=[/m]
[m]=3\frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}+ sin\frac{1}{x^2}+C=[/m]
[m]=-2\frac{1}{x\sqrt{x}}+ sin\frac{1}{x^2}+C=[/m]
2.
Интегрирование по частям:
[m] ∫ udv=u*v- ∫ vdu[/m]
[m]u=x [/m]⇒ [m]du=(x)`dx=dx[/m]
[m]dv=e^{2x}dx [/m]⇒ [m]v= ∫ dv= ∫ e^(2x)dx=\frac{1}{2}∫ e^{2x}d(2x)=\frac{1}{2}e^{2x}[/m]
[m] ∫ xe^{x}dx=\underbrace{x}_{u}\cdot \underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{v} -∫\underbrace{\frac{1}{2}e^{2x}}_{v}\cdot \underbrace{dx}_{du}=\frac{1}{2}x\cdot e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+C[/m]
3.
Интегрирование дробей.
Разложим подынтегральную дробь на простейшие
[m]\frac{3x-4}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{b}{x+2}[/m]
Приводим дроби справа к общему знаменателю:
[m]\frac{3x-4}{x^2-4}=\frac{A(x+2)+B(x-2)}{(x-2)(x+2)}[/m]
Две дроби равны, знаменатели равны.
Приравниваем числители:
[m]3x-4=A(x+2)+B(x-2)[/m]
[m]3x-4=(A+B)x+(2A-2B)[/m]
Два многочлена равны, степени равны. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
при x^(1):
3=A+B
при х^(0)
-4=(2A-2B)
Решаем систему двух уравнений и находим А и В
[m]A=-\frac{1}{2}[/m]
[m]B=\frac{7}{2}[/m]
[m] ∫ \frac{3x-4}{x^2-4}dx=∫( \frac{-\frac{1}{2}}{x-2}+\frac{\frac{7}{2}}{x+2})dx=-\frac{1}{2}ln|x-2|+\frac{7}{2}ln|x+2|+C[/m]
4.
Выделяем полный квадрат:
[m]x^2-2x+5=(x^2-2x+1)+4=(x-1)^2+2^2[/m]
[m]x-1=t[/m] ⇒ [m]x=t+1[/m]
[m]dx=dt[/m]
[m]\int \frac{(x-1)}{\sqrt{x^2-2x+5}}dx=\int \frac{t}{\sqrt{t^2+2^2}}dt=\frac{1}{2}\int \frac{2t}{\sqrt{t^2+2^2}}dt=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2+2)}{\sqrt{t^2+2^2}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t^2+2}[/m]
табличный интеграл: [m]∫ \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}[/m]
Обратный переход к переменной х:
[m]=\sqrt{x^2-2x+5}+C[/m]
5.
[m]5sin^2x-3cos^2x+4=5sin^2x-3cos^2x+4\cdot (sin^2x+cos^2x)=9sin^2x+cos^2x=9\cdot cos^2x(tg^2x+\frac{1}{9})dx[/m]
[m] ∫ \frac{dx}{5sin^2x-3cos^2x+4}= ∫ \frac{1}{9\cdot cos^2x(tg^2x+\frac{1}{9})}dx=\frac{1}{9} ∫ \frac{1}{tg^2x+\frac{1}{9}}\cdot \frac{1}{cos^2x}dx=\frac{1}{9} \frac{1}{\frac{1}{3}}arctg\frac{tgx}{\frac{1}{3}}+C=[/m]
см. последнюю формулу в таблице
[m]=\frac{1}{3} arctg (3tgx)+C[/m]
