Задача 68991 Исследовать функцию с помощью...

Maks113

6 февраля 2023 г. в 23:24

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график y = 1/3·x³+1/2·x²+1

exponenta

8 февраля 2023 г. в 09:44

★

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

Исследование функции с помощью производной:

y`=(1/3)x<sup>3</sup>+(1/2)x<sup>2</sup>+1)`

y`=(1/3)·3x²+(1/2)·2x²


y`=x²+x

y`=0

x²+x=0


x=–1; x=0

Расставляем знак производной

_+__ (–1) __–___ (0) __+__

х=–1 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
х=0 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

y(–1)=–(1/3)+(1/2)+1=7/6

y(0)=1

y`> 0 на (– ∞ ;–1) и на (0;+ ∞ )
Функция возрастает на (– ∞ ;–1) и на (0;+ ∞ )

y`<0 на (–1;0)
Функция убывает на (–1;0)



Исследование функции с помощью второй производной:

y``=(y`)`=(x²+x)`=2x+1

y``=0

2x+1=0

x=–1/2 – точка перегиба, вторая производная меняет знак

y``<0 на (– ∞ ;–1/2) ⇒ кривая выпукла вверх ( ∩ ) на (– ∞ ;–1/2)

y`>`0 на (–1/2;+ ∞ ) ⇒ кривая выпукла вниз ( ∪ ) на (–1/2;+ ∞ )