Задача 68650 Найти область сходимости ряда...

Karinabel

25 января 2023 г. в 22:05

Найти область сходимости ряда

exponenta

25 января 2023 г. в 22:32

★

Применяем признак Даламбера к ряду из модулей:

$lim_{n → ∞ }\frac{\frac{4^{n+1}\cdot |x+1|^{2(n+1)}}{n+1}}{\frac{4^{n}\cdot |x+1|^{2n}}{n}}=$


$=4\cdot |x+1|^2\cdot lim_{n → ∞ }\frac{n+1}{n}=4\cdot |x+1|^2\cdot 1=4\cdot |x+1|^2$


По признаку Даламбера данный ряд сходится и притом абсолютно, если

$4\cdot |x+1|^2<1$ ⇒

$|x+1|^2<\frac{1}{4}$

$|x+1|<\frac{1}{2}$


$-\frac{1}{2}<x+1<\frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2}<x<\frac{1}{2}$

Проверяем сходимость на концах интервала:

$x=-\frac{3}{2}$

Получаем числовой ряд

$∑_{n=1}^{ ∞ }\frac{4^{n}\cdot (-\frac{1}{2})^{2n}}{n}$

$∑_{n=1}^{ ∞ }\frac{1}{ n}$

Ряд расходится, потому что это гармонический ряд.


$x=\frac{1}{2}$

Получаем числовой ряд

$∑_{n=1}^{ ∞ }\frac{4^{n}\cdot (\frac{3}{2})^{2n}}{n}$

$∑_{n=1}^{ ∞ }\frac{9^{n}}{ n}$

Ряд расходится по признаку Даламбера

[m]lim_{n → ∞ }\frac{\frac{9^{n+1}}{n+1}}{\frac{9^{n}}{n}=9 > 1[/m]


О т в е т. $(-\frac{3}{2};\frac{1}{2})$