Задача 68628 аналитическую в окрестности точки z0...
Условие
Решение
Функция u(x;y) и [i]искомая[/i] функция v(x;y) должны удовлетворять условиям Коши-Римана:
∂ u/ ∂ x= ∂ v/ ∂ y
∂ u/ ∂ y=- ∂ v/ ∂x
a)
u(x;y)=x^2-y^2+2y
⇒ [green]∂ u/ ∂ x=2x [/green]
и
∂ u/ ∂ y=[red]-2y+2 [/red]
∂ u/ ∂ y=- ∂ v/ ∂x
∂ v/ ∂x=-∂ u/ ∂ y=-([red]-2y+2 [/red] )=2y-2
Тогда
v(x;y)= ∫([red](2y-2)[/red] )dy=y^2-2y+C(x)
Найдем
∂ v/ ∂y =(y^2-2y+C(x))`_(x)=C`(x)
∂ u/ ∂ x= ∂ v/ ∂ y=
C`(x) =[red]2x[/red]⇒
C(x)= ∫(2x)dx=x^2+C
Тогда
v(x;y)= y^2-2y+C(x)+x^2+C
f(x+iy)=u(x;y)+i*v(x;y)=(x^2-y^2+2y ) + i*(y^2-2y+x^2+C)
В задаче
в)
Подставив в найденный ответ ω =0
Найдем С=