Задача 68538 Используя признак Даламбера, определите...

Фидан_195360620

22 января 2023 г. в 10:06

Используя признак Даламбера, определите сходимость каждого из следующих рядов. Выберите один из вариантов ответа – Ряд расходится, ряд сходится или же данный признак не даёт возможности установить сходимость или расходимость ряда.

exponenta

22 января 2023 г. в 10:33

★

a)
Ряд сходится по признаку Даламбера

[m]lim_{n → ∞ } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{9^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{9^{n}}{n!}}=9 lim_{n → ∞ }\frac{1}{n}=0<1[/m]

b)
Ряд расходится по признаку Даламбера

[m]lim_{n → ∞ } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{9^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{9^{n}}{n^2}}=9\cdot lim_{n → ∞ }\frac{n^2}{(n+1)^2}=9\cdot 1=9>1[/m]


c)
Ряд сходится по признаку Даламбера

[m]lim_{n → ∞ } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{n+1}{9^{n+1}}}{\frac{n}{9^{n}}}=\frac{1}{9}lim_{n → ∞ }\frac{n+1}{n}=\frac{1}{9}\cdot 1=\frac{1}{9}<1[/m]