Задача 68316 Известно, что |a| =1, |b| = 4 , |a · b|...
Условие
Решение
[m] |\vec{a}|=1; |\vec{b}|=4[/m]
и
скалярное произведение векторов:
[m]\vec{a} \cdot \vec{b} = 2[/m]
Решение.
По определению скалярного произведения:
[m]\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot cos ∠ (\vec{a},\vec{b})[/m]
[m]2=1\cdot 4\cdot cos ∠ (\vec{a},\vec{b})[/m]
тогда
[m]cos ∠ (\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}[/m]
[m] ∠ (\vec{a},\vec{b})=60° [/m]
Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю их векторного произведения:
S_(параллелограмма)=[m]|(2\vec{a}+\vec{b}) × (\vec{a}-2\vec{b}) |[/m]
Находим векторное произведение векторов:
[m](2\vec{a}+\vec{b}) × (\vec{a}-2\vec{b})=[/m]
раскрываем скобки по законам векторной алгебры ( как в алгебре)
[m]=2\vec{a} × \vec{a}+\vec{b} × \vec{a}+\vec{a} ×(-2\vec{b})+\vec{b} ×(-2\vec{b})=[/m]
применяем свойства векторного произведения
[m]=2\underbrace {\vec{a} × \vec{a}}_{0} - \vec{a} × \vec{b}- 4\vec{a} × \vec{b}-2\underbrace {\vec{b} × \vec{b}}_{0}
=-5\vec{a} × \vec{b}[/m]
S_(параллелограмма)=[m]|-5\vec{a} × \vec{b}|=5|\vec{a} × \vec{b}|=5|\vec{a}| * |\vec{b}|*sin ∠ (\vec{a},\vec{b})=
=5\cdot 1\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}[/m]
