Задача 68316 Известно, что |a| =1, |b| = 4 , |a · b|...

Арман_279649431

14 января 2023 г. в 20:24

Известно, что |a| =1, |b| = 4 , |a · b| = 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 2a + b , a – 2b ; длину одной из диагоналей параллелограмма.

exponenta

14 января 2023 г. в 21:13

★

По условию
$|\vec{a}|=1; |\vec{b}|=4$

и

скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$


Решение.

По определению скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot cos ∠ (\vec{a},\vec{b})$



$2=1\cdot 4\cdot cos ∠ (\vec{a},\vec{b})$

тогда

$cos ∠ (\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}$

$∠ (\vec{a},\vec{b})=60°$


Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю их векторного произведения:

S_{параллелограмма}=$|(2\vec{a}+\vec{b}) × (\vec{a}-2\vec{b}) |$


Находим векторное произведение векторов:

$(2\vec{a}+\vec{b}) × (\vec{a}-2\vec{b})=$

раскрываем скобки по законам векторной алгебры ( как в алгебре)


$=2\vec{a} × \vec{a}+\vec{b} × \vec{a}+\vec{a} ×(-2\vec{b})+\vec{b} ×(-2\vec{b})=$


применяем свойства векторного произведения


$=2\underbrace {\vec{a} × \vec{a}}_{0} - \vec{a} × \vec{b}- 4\vec{a} × \vec{b}-2\underbrace {\vec{b} × \vec{b}}_{0} =-5\vec{a} × \vec{b}$


S_{параллелограмма}=$|-5\vec{a} × \vec{b}|=5|\vec{a} × \vec{b}|=5|\vec{a}| * |\vec{b}|*sin ∠ (\vec{a},\vec{b})= =5\cdot 1\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$