Решить уравнения комплексных чисел: z²

Условие

Tuyen

5 января 2023 г. в 17:36

Решить уравнения комплексных чисел:
z² – (1+i).z +6+3i= 0

математика ВУЗ 554

Решение

exponenta

5 января 2023 г. в 17:56

★

D=(1+i)²–4·(6+3i)=1+2i+i²–24–12i=1+2i–1–24–12i=–10i–24

[m]sqrt{D}=\sqrt{-10i-24}=\sqrt{26}(cos\frac{-π+arctg\frac{5}{12}+2πk}{2}+isin\frac{-π+arctg\frac{5}{12}+2πk}{2}), k ∈ [/m]Z

При k=0

получим
[m]sqrt{D}=\sqrt{26}(cos\frac{-π+arctg\frac{5}{12}}{2}+isin\frac{-π+arctg\frac{5}{12}}{2}) [/m]

[m]sqrt{D}=\sqrt{26}(cos(-\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12})+isin(-\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12})) [/m]

При k=1
получим
[m]sqrt{D}=\sqrt{26}(cos\frac{-π+arctg\frac{5}{12}+2π}{2}+isin\frac{-π+arctg\frac{5}{12}+2π}{2}) [/m]

[m]sqrt{D}=\sqrt{26}(cos(\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12})+isin(\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12})) [/m]

Тогда

[m]z_{1,2}=\frac{(1+i) ±\sqrt{26}(cos(-\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12})+isin(-\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12}))}{2}[/m]

[m]z_{3,4}=\frac{\sqrt{26}(cos(\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12})+isin(\frac{π}{2}+\frac{1}{2}arctg\frac{5}{12}))}{2}[/m]

Чтобы извлечь квадратный корень из дискриминанта D запишем число [m] z=-10i-24[/m]в тригонометрической форме