Задача 68104 Для функции у = (2x + 3)e^(5x) 1. Найти...
Условие
1. Найти область определения, точки разрыва.
2. Исследовать функцию на четность, периодичность.
3. Исследовать поведение функции на концах области определения. Указать асимптоты.
4. Найти промежутки монотонности, Точки экстремума.
5. Найти промежутки выпуклости. Точки перегиба.
6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = (2х + 3)е^(5x) и прямыми х = 0, х = 2, у = 0.
Решение
D(y)=(- ∞ ;+ ∞ ) ⇒
Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет
2.
y(-x)=(2*(-x)+3)*e^(-5x)
y(-x) ≠ y(x)
y(-x)≠- y(x)
Функция не является ни четной, ни нечётной
3.
[m]lim_{x → + ∞ }(2x+3)e^{5x}=+ ∞ [/m]
[m]lim_{x → - ∞ }(2x+3)e^{5x}= -∞ \cdot 0 [/m]- неопределенность
Применяем правило Лопиталя:
[m]lim_{x → - ∞ }\frac{e^{5x}}{\frac{1}{2x+3}}=lim_{x → - ∞ }\frac{(e^{5x})`}{(\frac{1}{2x+3})`}=lim_{x → - ∞ }\frac{e^{5x}\cdot (5x)`}{(-\frac{1}{(2x+3)^2})\cdot (2x+3)`}=[/m] [m]lim_{x → - ∞ }\frac{5e^{5x}}{-\frac{2}{(2x+3)^2}}=0[/m]
y=0 - [b]горизонтальная асимптота на (-∞)[/b]
4.
y`=(2x+3)`*e^(5x)+(2x+3)*(e^(5x))`
y`=2*e^(5x)+(2x+3)*e^(5x)*(5x)`
y`=2*e^(5x)+(2x+3)*e^(5x)*(5)
y`=e^(5x)*(2+10x+15)
[green]y`=e^(5x)*(10x+17)[/green]
так как e^(5x) > 0 при любом х
то y`=0 при
10х+17=0
x=-1,7
х=-1,7 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
y(-1,7)=(2*(-1,7)+3)*e^(-1,7*5)=-0,4*e^(-8,5) <0
(-1,7; -0,4e^(-8,5)) - точка минимума
y` <0 на (- ∞ ;-1,7) функция убывает на на (- ∞ ;-1,7)
y`>0 на (-1,9;+ ∞ ) функция возрастает на (-1,7;+ ∞ )
y``=(y`)`=(e^(5x)*(10x+17))`
y``=(e^(5x))`*(10x+17)+e^(5x)*(10x+17)`
y``=e^(5x)*(50x+85+10)
y``=e^(5x)*(50x+95)
y``=0
x=-95/50
x=-1,9
x=-1,9 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
на (- ∞ ;-1,9) кривая выпукла вниз,
на (-1,9;+ ∞ ) кривая выпукла вверх
y(-1,9)=(2*(-1,9)+3)*e^(-1,9*5)=-0,8*e^(-9,5)
6
[m]S= ∫_{0} ^{2}(2x+3)e^{5x}dx=[/m]
метод интегрирования по частям:
u=[b]2x+3[/b]
du=(2x+3)`dx ⇒ du=2dx
dv=e^(5x)dx
v= ∫ e^(5x)dx=[b](1/5)e^(5x)[/b]
[m]=(2x+3)\cdot \frac{e^{5x}}{5}|_{0}^{2}- ∫_{0} ^{2} \frac{2e^{5x}}{5}dx=(2\cdot 2+3)\cdot \frac{e^{10}}{5}-(2\cdot 0+3)\cdot \frac{e^{0}}{5}-(\frac{2}{25}e^{5x})|_{0} ^{2}=\frac{7}{5}\cdot e^{10}-\frac{3}{5}-\frac{2}{25}\cdot e^{10}+\frac{2}{25}=[/m]
[m]=\frac{33e^{10}-13}{25}[/m]
[b]Точки пересечения с осями координат[/b]
1)C осью Оу
х=0
y=(2*0+3)*e^(0)=3*1=3
[b](0;3)[/b]
С осью Ох:
y=0
(2x+3)*e^(5x)=0
2x+3=0
x=-1,5
[b](-1,5;0)[/b]
⇒
на (- ∞ ; -1,5) кривая расположена ниже оси Ох
на (-1,5;+ ∞ ) кривая расположена выше оси Ох
Поэтому слева от точки (-1,5) расположена и точка перегиба и точка минимума
( примерно так как на последнем рисунке, но масштаб не такой...)
Все решения
1) Область определения: D(x) = (-oo; +oo)
Точки разрыва - нет, вертикальных асимптот нет.
Пересечение с осями:
При x = 0 будет 3e^0 = 3. [b](0; 3)[/b]
При y = 0 будет 2x + 3 = 0; x = -3/2 = -1,5. [b](-1,5; 0)[/b]
2) Четность: ни четная, ни нечетная.
Периодичность: непериодическая.
3) lim(x -> -oo) y = lim(x -> -oo) e^(5x) = e^(-oo) = 0
lim(x -> +oo) y = lim(x -> +oo) e^(5x) = e^(+oo) = +oo
Это так, потому что на бесконечности множитель e^(5x) возрастает и убывает намного быстрее, чем множитель (2x + 3).
Поэтому (2x + 3) перестает иметь значение.
Горизонтальная асимптота при x -> -oo: [b]f(x) = 0[/b]
Наклонных асимптот [b]нет[/b].
4) y' = 2*e^(5x) + (2x + 3)*e^(5x)*5
y' = e^(5x)*(2 + 10x + 15) = e^(5x)*(10x + 17)
Точки экстремума - это точки, в которых y' = 0.
e^(5x)*(10x + 17) = 0
e^(5x) > 0 при любом x, поэтому:
10x + 17 = 0
x = -17/10 = -1,7
y(-1,7) = (2(-1,7) + 3)*e^(-5*1,7) = (-0,4)*e^(-8,5) ≈ -8,14*10^(-5)
Точка экстремума: [b](-1,7; (-0,4)*e^(-8,5))[/b], это точка минимума.
Промежутки монотонности:
При x < -1,7 функция убывает, при x > -1,7 функция возрастает.
5) Точки перегиба - это точки, в которых y'' = 0
y'' = 10*e^(5x) + (10x + 17)*e^(5x)*5
y'' = e^(5x)*(10 + 50x + 85) = e^(5x)*(50x + 95) = 0
50x + 95 = 0
x = -95/50 = -19/10 = -1,9
y(-1,9) = (2(-1,9) + 3)*e^(-5*1,9) = (-0,8)*e^(-9,5) ≈ -6*10^(-5)
Точка перегиба: [b](-1,9; (-0,8)*e^(-9,5))[/b]
Промежутки выпуклости и вогнутости:
При x < -1,9 функция выпуклая (выпуклая вверх),
При x > -1,9 функция вогнутая (выпуклая вниз).
6) y = (2x + 3)*e^(5x); x = 0; x = 2; y = 0
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, нужно взять интеграл.
[m]\int_0^2 (2x + 3)e^{5x} dx = [/m]
[m] = |u = 2x + 3; dv = e^{5x} dx; du = 2dx; v = 0,2e^{5x}| =[/m]
[m]= (2x + 3) \cdot 0,2e^{5x}|_0^2 - \int_0^2 2 \cdot 0,2e^{5x} dx =[/m]
[m]= (4+3) \cdot 0,2e^{10} - 3 \cdot 0,2e^{0} - 0,4 \cdot 0,2e^{5x}|_0^2 =[/m]
[m]= 1,4e^{10} - 0,6e^{0} - 0,08e^{10} + 0,08e^{0} = 1,32e^{10} - 0,52[/m]
Ответ: [m]S = 1,32e^{10} - 0,52 ≈ 29074,4148[/m]
График функции прилагается.