Задача 68098 ...
Условие
e₁= (1 2 1) ; e₂= (2 3 3) ; e₃= (3 7 1)
e₁′= (3 1 4) ; e₂′ = (5 2 1) ; e₃′ = (1 1 -6)
Решение
[m]\begin {bmatrix} \vec{e`_{1}}&\vec{e`_{2}}&\vec{e`_{3}}\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} \vec{e_{1}}&\vec{e_{2}}&\vec{e_{3}}\end {bmatrix}\cdot \begin {bmatrix}a_{11} &a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end {bmatrix} [/m]
т.е
[m]T=\begin {bmatrix} a_{11} &a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end {bmatrix}[/m]- матрица перехода
от базиса [m]\begin {bmatrix} \vec{e_{1}}&\vec{e_{2}}&\vec{e_{3}}\end {bmatrix}[/m] к базиcy [m]\begin {bmatrix} \vec{e`_{1}}&\vec{e`_{2}}&\vec{e`_{3}}\end {bmatrix}[/m]
( см. скрин 3)
[m]\vec{e`_{1}}=a_{11}\vec{e_{1}}+a_{21}\vec{e_{2}}+a_{31}\vec{e_{3}}[/m]
[m]\vec{e`_{2}}=a_{12}\vec{e_{1}}+a_{22}\vec{e_{2}}+a_{32}\vec{e_{3}}[/m]
[m]\vec{e`_{3}}=a_{13}\vec{e_{1}}+a_{23}\vec{e_{2}}+a_{33}\vec{e_{3}}[/m]
Так как каждое равенство покоординатное, то получаем три системы:
[m]\left\{\begin {matrix}3=a_{11}\cdot 1+a_{21}\cdot 2+a_{31}\cdot 3\\1=a_{11}\cdot 2+a_{21}\cdot 3+a_{31}\cdot 7\\4=a_{11}\cdot 1+a_{21}\cdot 3+a_{31}\cdot 1\end {matrix}\right.[/m]
Решаем систему и получаем:
[m]a_{11}=-27[/m]
[m]a_{21}=9[/m]
[m]a_{31}=4[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}5=a_{12}\cdot 1+a_{22}\cdot 2+a_{32}\cdot 3\\2=a_{12}\cdot 2+a_{22}\cdot 3+a_{32}\cdot 7\\1=a_{12}\cdot 1+a_{22}\cdot 3+a_{32}\cdot 1\end {matrix}\right.[/m]
Решаем систему и получаем:
[m]a_{12}=-71[/m]
[m]a_{22}=20[/m]
[m]a_{32}=12[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}1=a_{13}\cdot 1+a_{23}\cdot 2+a_{33}\cdot 3\\1=a_{13}\cdot 2+a_{23}\cdot 3+a_{33}\cdot 7\\-6=a_{13}\cdot 1+a_{23}\cdot 3+a_{33}\cdot 1\end {matrix}\right.[/m]
Решаем систему и получаем:
[m]a_{13}=-41[/m]
[m]a_{23}=9[/m]
[m]a_{33}=8[/m]
[m]T=\begin {bmatrix} -27 &-71&-41\\9&20&9\\4&12&8\end {bmatrix}[/m]- матрица перехода
от базиса [m]\begin {bmatrix} \vec{e_{1}}&\vec{e_{2}}&\vec{e_{3}}\end {bmatrix}[/m] к базиcy [m]\begin {bmatrix} \vec{e`_{1}}&\vec{e`_{2}}&\vec{e`_{3}}\end {bmatrix}[/m]
