Задача 67767 f(x)=х^2 +1, 0 < х < 2 по косинусам. ...
Условие
Решение
Продолжить функцию на (–2;2) чётным образом, тогда получим разложение в ряд Фурье по косинусам:
\frac{a_{o}}{2}+ ∑_{1}^{ ∞}a_{n} cos\frac{nπx}{l}
b_{n}=0
a_{o}=\frac{2}{2} ∫_{0} ^{2}(x^2+1)dx= (\frac{x^3}{3}+x)|_{0} ^{2}=\frac{2^3}{3}+2=\frac{14}{3}
n ≥ 1
a_{n}=\frac{2}{2} ∫_{0} ^{2}(x^2+1)cos\frac{nπx}{2}dx=\underbrace{∫_{0} ^{2}x^2cos\frac{nπx}{2}dx}_{J_{1}}+=\underbrace{∫_{0} ^{2}cos\frac{nπx}{2}dx}_{J_{2}}=
Первый интеграл – интегрируем по частям два раза
J_{1}=∫_{0} ^{2}x^2cos\frac{nπx}{2}dx=
u=x^2 ⇒ du=2xdx
dv=cos\frac{nπx}{2}dx ⇒ v=\frac{2}{nπ} ∫ cos\frac{nπx}{2}d(\frac{nπx}{2})=\frac{2}{nπ}sin\frac{nπx}{2}
=(\frac{2}{nπ}\cdot x^2\cdot sin\frac{nπx}{2})|_{0} ^{2}-∫_{0} ^{2}\frac{2}{nπ}sin\frac{nπx}{2}\cdot (2x)dx=
=\frac{2}{nπ}\cdot 2^2\cdot sin\frac{nπ\cdot 2}{2}- 0-\frac{4}{nπ}∫_{0} ^{2}x\cdot sin\frac{nπx}{2}dx=
=\frac{8}{nπ}\cdot\underbrace{sin nπ}_{0}-\frac{4}{nπ}∫_{0} ^{2}x\cdot sin\frac{nπx}{2}dx=-\frac{4}{nπ}∫_{0} ^{2}x\cdot sin\frac{nπx}{2}dx
u=x ⇒ du=dx
dv=sin\frac{nπx}{2}dx ⇒ v=\frac{2}{nπ} ∫ sin\frac{nπx}{2}d(\frac{nπx}{2})=\frac{2}{nπ}(-cos\frac{nπx}{2})
=-\frac{4}{nπ}( x\cdot\frac{2}{nπ}\cdot (-cos\frac{nπx}{2})|_{0} ^{2}-∫_{0} ^{2}\frac{2}{nπ}cdot(-cos\frac{nπx}{2})dx)=
=\frac{8}{n^2π^2}(cosπn-cos0)-\frac{8}{n^2π^2}∫_{0} ^{2}cos\frac{nπx}{2})dx=
=\frac{8}{n^2π^2}((-1)^{n}-1)+\frac{16}{n^3π^3}\cdot sin\frac{nπx}{2})|_{0} ^{2}=\frac{8}{n^2π^2}((-1)^{n}-1)+\frac{16}{n^3π^3}(sinnπ-sin0)=(-1)^{n}\cdot \frac{16}{n^2π^2}
(–1)n–1=\left\{\begin {matrix}(-1)^{2k+1}-1=-2, n=2k+1>0\\1-1=0, n=2k\end {matrix}\right.
Второй интеграл табличный
∫ cosu du=sinu
J_{2}=∫_{0} ^{2}cos\frac{nπx}{2}dx=\frac{2}{nπ} ∫_{0} ^{2} cos\frac{nπx}{2}d(\frac{nπx}{2})=\frac{2}{nπ}sin\frac{nπx}{2}|_{0} ^{2}=0
a_{n}=J_{1}+J_{2}=(-1)^{n}\cdot \frac{16}{n^2π^2}+0
О т в е т.
f(x) ∼ \frac{7}{3}+ ∑_{1}^{ ∞}(-1)^{n}\cdot \frac{8}{n^2π^2}cos\frac{nπx}{2}
