Задача 67762 В трапеции ABCD основания AD и BC....

63a2e015bf9ab9384adb3e71

21.12.2022 13:36:31

В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и AB.

а) Докажите, что луч DB – биссектриса угла ADC.
б) Найдите AB, если известны длины диагоналей трапеции: BD=8 и AC=5.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.12.2022 14:12:27

★

Δ ACD- равнобедренный
Пусть
∠ CAD= ∠ CDA= α ,
тогда
∠ ACD=180 ° - α



∠ BCA=∠ CAD= α ( внутренние накрест лежащие)

180 ° -2 β = ∝

Δ BCD- равнобедренный

∠ BCD= α +(180 ° -2 α )

∠ BCD= 180 ° - α

∠ CBD= ∠ CDB=(180 ° - (180 ° - α ))/2 = α/2 ⇒

BD - биссектриса ∠ СDA, который равен α

Т.е BD делит ∠ СDA пополам


б)
По теореме косинусов из Δ BCD

CD^2=BC^2+BD^2-2BC*BD*cos ∠ CBD

5^2=5^2+8^2-2*5*8*cos ∠ CBD

cos ∠ CBD=0,8 ( или провести высоту из точки С на BD.получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 и катетом 8/2=4)


∠ CBD= α /2

∠ BCM= α /2 ⇒ ∠ BCM=0,8

Из прямоугольного Δ ВСМ

cos ∠ BCM=CM/BC

CM=BC*cos∠ BCM=5*0,8=4

По теореме Пифагора

ВМ=3

АВ=2ВМ=[b]6[/b]