Задача 67639 Буду рада хотя бы хорошему, понятному...
Условие
Решение
Как провести этот перпендикуляр.
Пусть P- середина СС_(1)
KP || AC
KP|| A_(1)C_(1) ⇒ KP || пл DA_(1)C_(1)
Расстояние от точки К до плоскости DA_(1)C_(1) равно расстоянию любой точки прямой KP до плоскости DA_(1)C_(1)
Пусть M- точка пересечения КР и OO_(1)
Проводим перпендикуляр из токи Р на DO_(1)
Δ DO_(1)O - прямоугольный
OO_(1)=боковому ребру = [b]4[/b]
АС^2=AB^2+BC^2=8+8=16
AC= 4 - диагональ квадрата со стороной [b]2sqrt(2)[/b]
BD=AC=4
DO=BD/2=2
По теореме Пифагора
DO_(1)=2sqrt(5)
Δ DO_(1)O ∼ Δ MTO_(1) ( по двум углам, один общий, второй 90 ° )
Из подобия
2/2sqrt(5)=MT/2
[b]MT=2/sqrt(5)[/b]
О т в е т. 4/5
2 способ.
Координатный.
Помещаем призму в систему координат
D(0;0;0)
A(2sqrt(2); 0;0)
C(0;2sqrt(2);0)
B(2sqrt(2);2sqrt(2);0)
D_(1)(0;0;4)
A_(1)(2sqrt(2); 0;4)
C_(1)(0;2sqrt(2);4)
B_(1)(2sqrt(2);2sqrt(2);4)
K(2sqrt(2); 0;2)
Составляем уравнение плоскости DA_(1)C_(1)
Она проходит через D - начало координат, значит имеет вид:
ax+by+cz=0
Подставляем координаты точек
A_(1)(2sqrt(2); 0;4)
C_(1)(-;2sqrt(2);4)
2sqrt(2)a+0*b+4c=0 ⇒a=-4c/2sqrt(2)
0*a+2sqrt(2)b+4c=0 ⇒b=-4c/2sqrt(2)
Подставляем в уравнение плоскости
ax+by+cz=0
(-4с/2sqrt(2))x+(-4c/2sqrt(2))y+cz=0
Сокращаем на с:
2x+2y-sqrt(2)z=0
Расстояние от точки до плоскости находим по формуле ( см. скрин)
[m]d=\frac{|2\cdot 2\sqrt{2}+2\cdot 0-\sqrt{2}\cdot 2|}{\sqrt{2^2+2^2+(-\sqrt{2})^2}}=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}[/m]
О т в е т. 4/5
