Задача 67603 Написать уравнение окружности, если...

Виолин

16 декабря 2022 г. в 11:31

Написать уравнение окружности, если окружность проходит через точки М1 (–1;5) М2 (–2;–2) М3 (5;5) (тема:уравнение второго порядка, окружность)

exponenta

16 декабря 2022 г. в 15:46

★

Каноническое уравнение окружности:

(x–a)²+(y–b)²=R²


Подставляем координаты точек
М₁ (–1;5)

(–1–a)²+(5–b)²=R²

М₂ (–2;–2)

(–2–a)²+(–2–b)²=R²

М₃ (5;5)
(5–a)²+(5–b)²=R²

Решаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
[m]\left\{\begin {matrix}(-1-a)^2+(5-b)^2=R^2 \\(-2-a)^2+(-2-b)^2=R^2 \\(5-a)^2+(5-b)^2=R^2 \end {matrix}\right.[/m]

Вычитаем из первого третье
[m]\left\{\begin {matrix}(-1-a)^2+(5-b)^2=R^2 \\(-2-a)^2+(-2-b)^2=R^2 \\(-1-a)^2-(5-a)^2=0 \end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}(-1-a)^2+(5-b)^2=R^2 \\(-2-a)^2+(-2-b)^2=R^2 \\1+2a+a^2-25+10a-a^2=0 \end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}(-1-2)^2+(5-b)^2=R^2 \\(-2-2)^2+(-2-b)^2=R^2 \\a=2 \end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}9 +(5-b)^2=R^2 \\16+(-2-b)^2=R^2 \\a=2 \end {matrix}\right.[/m]

Вычитаем из первого второе:

[m]\left\{\begin {matrix}9 +(5-b)^2=R^2 \\9-16+(5-b)^2-(-2-b)^2=0 \\a=2 \end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}9 +(5-(-2))^2=R^2 \\b=-2 \\a=2 \end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}R^2=58 \\b=-2 \\a=2 \end {matrix}\right.[/m]


(x–2)²+(y+2)²=58