Задача 66730 ...

Em_pelmeni

7 ноября 2022 г. в 16:55

Для треугольника ABC, построенного на векторах CA = p – q, CB = 2p+q, где |p| = 1, |q| = 2, ∠ ∝ =π/4. Найти длины сторон CA, CB и ∠ между ними, площадь треугольника, высоту h из точки B, медиану m из точки C, биссектрису n угла C

exponenta

8 ноября 2022 г. в 14:14

★

|CA|²=|CA|²

|CA|²=(p–q)²=(p–q)·(p–q)=p·p–q·p–p·q+q·q=

=|p|·|p|·cos0–2|p|·|q|·cos(π/4)+|q|·|q|·cos0=1·1·1–2·1·2·√2/2+2·2·1=5–2√2

|CA|=√5–2√2



|CB|²=|CB|²

|CB|²=(2p+q)²=(2p+q)·(2p+q)=4(p·(p+2(q·(p+2(p·(q+(q·(q=

=4|p|·|p|·cos0+4|p|·|q|·cos(π/4)+|q|·|q|·cos0=4·1·1·1+4·1·2·√2/2+2·2·1=8+4√2

|CB|=√8+4√2



cos ∠ (CA^ CB)=(CA·CB)/ (|CA|·|CB|)=


CA·CB=(p–q)·(2·p+q)=

=2·p·p–2·q·p+p·q–2·q·q=

=2·|p|·|p|·cos0+|p|·|q|·cos(π/4)–2|q|·|q|·cos0=4·1·1·1+1·2·√2/2–2·2·1=√2



cos ∠ (CA^ CB)=√2/(√5–2√2·√8+4√2)


S _{Δ АВС}=(1/2)| (CA × CB)|


CA × CB=(p–q) × (2p+q)=

=2·p × p–2·q × p+p × q–2·q × q=

так как

q × p=–p × q ⇒

CA × CB=2·p × p+3·q × p+p × q–2·q × q

=3·q × p


|CA × CB|=

=3·|p}· |q|·sin(π/4)=3·1·2·√2/2=3√2


S _{Δ АВС}=(1/2)·3√2=3√2/2


S _{Δ АВС}=(1/2)·AC· h_b


h_b=2S _{Δ АВС}/AC=3√2/√5–2√2