Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 66543 провести исследования функции и...

Условие

провести исследования функции и построить график

математика колледж 205

Решение

Область определения (- ∞ ;0)U(0;+ ∞ ).

Исследуем на четность, нечетность:

Область определения симметрична относительно 0
[m] y(-x)=\frac{ 4-3(-x)^2}{(-x)^3}=\frac{4-3 x^2}{(-x^3)}=-\frac{4-3 x^2}{x^3}[/m]

[m]y(-x) =- y(x)[/m]

Функция является [b]нечётной[/b]


Прямая [m] x=0 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.

Так как [m] lim_{x → 0}\frac{4-3 x^2}{x^3}= ∞ [/m]

[m] lim_{x → -0}\frac{4-3 x^2}{x^3}=- ∞ [/m]
[m] lim_{x → +0}\frac{4-3 x^2}{x^3}=+ ∞ [/m]

[i]Горизонтальная[/i] асимптота y=0, так как

[m] lim_{x → ∞}\frac{4-3 x^2}{x^3}= lim_{x → ∞}\frac{x^3(\frac{4}{x^3}-3\frac{1}{x}}{x^3}=lim_{x → ∞}\frac{4}{x^3}-3\frac{1}{x}=0 [/m]

Наклонной асимптоты нет, так как:
[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{4-3 x^2}{x^4}=0[/m]




[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:

[m]y`=(\frac{4-3 x^2}{x^3})`[/m]

[m]y`=\frac{(4-3 x^2)`\cdot x^3-(4-3x^2)\cdot (x^3)`}{(x^3)^2}[/m]


[m]y`=\frac{(-6 x)\cdot x^3-(4-3x^2)\cdot (3x^2)}{(x^3)^2}[/m]

[m]y`=\frac{-6x^4-12x^2+9x^4}{x^6}[/m]

[m]y`=\frac{3x^2(x^2-4)}{x^6}[/m]

[m]y`=\frac{3(x^2-4)}{x^4}[/m]

y`=0

x=-2; x=2

Расставляем знак производной на [i]на области определения[/i]

___+__ (-2) ____-__ (0) __- __ (2) __+___

y`<0 на (-2;0) и на (0;2 )

Значит функция убывает на(-2;0) и на (0;2 )


y`>0 на (- ∞ ; -2) и на (2;+ ∞ )

Значит, функция возрастает на (- ∞ ; -2) и на (2;+ ∞ )

х=-2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
x=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +


[m]y(-1)=\frac{1-2 \cdot (-1)^3}{(-1)^2}=3[/m]


[b]Исследование с помощью второй производной:[/b]


[m]y``=(y`)`=(\frac{3(x^2-4)}{x^4})`=3\cdot\frac{(x^2-4)`\cdot x^4-(x^2-4)\cdot (x^4)`}{(x^4)^2}=3\cdot\frac{2x\cdot x^4-(x^2-4)\cdot (4x^3)}{x^8}=3\cdot\frac{16x^3-2x^5}{x^8}=6\cdot \frac{8-x^2}{x^5}[/m]

y``=0

x= ± sqrt(8)

Знак второй производной [i]на области определения[/i]

___+__ (-sqrt(8)) ____-__ (0) __+ __ (sqrt(8)) __-___

[m]y`` <0 [/m] на (-sqrt(8);0) и на (sqrt(8);+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вверх ( ∩ )на (- ∞;0) и на (0;+ ∞ )

[m]y`` > 0 [/m] на (- ∞;-sqrt(8)) и на (0;sqrt(8) ) ⇒ функция выпукла вниз ( ∩ )на на (-sqrt(8);0) и на (sqrt(8);0 )

x= ± sqrt(8)- [b]точки перегиба [/b]

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК