Задача 66543 провести исследования функции и...

Robert_751622169

27 октября 2022 г. в 23:19

провести исследования функции и построить график

exponenta

28 октября 2022 г. в 09:00

★

Область определения (– ∞ ;0)U(0;+ ∞ ).

Исследуем на четность, нечетность:

Область определения симметрична относительно 0
$y(-x)=\frac{ 4-3(-x)^2}{(-x)^3}=\frac{4-3 x^2}{(-x^3)}=-\frac{4-3 x^2}{x^3}$

$y(-x) =- y(x)$

Функция является нечётной


Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

Так как $lim_{x → 0}\frac{4-3 x^2}{x^3}= ∞$

$lim_{x → -0}\frac{4-3 x^2}{x^3}=- ∞$
$lim_{x → +0}\frac{4-3 x^2}{x^3}=+ ∞$

Горизонтальная асимптота y=0, так как

$lim_{x → ∞}\frac{4-3 x^2}{x^3}= lim_{x → ∞}\frac{x^3(\frac{4}{x^3}-3\frac{1}{x}}{x^3}=lim_{x → ∞}\frac{4}{x^3}-3\frac{1}{x}=0$

Наклонной асимптоты нет, так как:
$k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{4-3 x^2}{x^4}=0$




Исследование с помощью первой производной:

$y`=(\frac{4-3 x^2}{x^3})`$

$y`=\frac{(4-3 x^2)`\cdot x^3-(4-3x^2)\cdot (x^3)`}{(x^3)^2}$


$y`=\frac{(-6 x)\cdot x^3-(4-3x^2)\cdot (3x^2)}{(x^3)^2}$

$y`=\frac{-6x^4-12x^2+9x^4}{x^6}$

$y`=\frac{3x^2(x^2-4)}{x^6}$

$y`=\frac{3(x^2-4)}{x^4}$

y`=0

x=–2; x=2

Расставляем знак производной на на области определения

___+__ (–2) ____–__ (0) __– __ (2) __+___

y`<0 на (–2;0) и на (0;2 )

Значит функция убывает на(–2;0) и на (0;2 )


y`>0 на (– ∞ ; –2) и на (2;+ ∞ )

Значит, функция возрастает на (– ∞ ; –2) и на (2;+ ∞ )

х=–2 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
x=2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +


$y(-1)=\frac{1-2 \cdot (-1)^3}{(-1)^2}=3$


Исследование с помощью второй производной:


$y``=(y`)`=(\frac{3(x^2-4)}{x^4})`=3\cdot\frac{(x^2-4)`\cdot x^4-(x^2-4)\cdot (x^4)`}{(x^4)^2}=3\cdot\frac{2x\cdot x^4-(x^2-4)\cdot (4x^3)}{x^8}=3\cdot\frac{16x^3-2x^5}{x^8}=6\cdot \frac{8-x^2}{x^5}$

y``=0

x= ± √8

Знак второй производной на области определения

___+__ (–√8) ____–__ (0) __+ __ (√8) __–___

$y`` <0$ на (–√8;0) и на (√8;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вверх ( ∩ )на (– ∞;0) и на (0;+ ∞ )

$y`` > 0$ на (– ∞;–√8) и на (0;√8 ) ⇒ функция выпукла вниз ( ∩ )на на (–√8;0) и на (√8;0 )

x= ± √8– точки перегиба