Задача 66521 Исследование функции. Исследовать...

6357dfbce50dab6c2924f921

27 октября 2022 г. в 10:03

Исследование функции. Исследовать функцию и построить эскиз графика

5f3ea7e3faf909182968ddd9

27 октября 2022 г. в 10:22

★

Область определения (– ∞;2)U(2;+ ∞ )

Прямая x=2 – вертикальная асимптота, так как lim_{x → 2}f(x)=lim_{x → 2}(x+3)/(x–2)= ∞

Прямая y=1 – горизонтальная асимптота, так как lim_{x → ∞} f(x)=lim_{x → ∞} (x+3)/(x–2)=

Выносим х за скобки и в числителе и в знаменателе и сокращаем на него

=lim_{x → ∞} x·(1+(3/x))/x·(1–(2/x))=lim_{x → ∞} (1+(3/x))/(1–(2/x))= 1


Функция не является ни чётной, ни нечётной

y(–x)=((–x)+3)/((–x)–2)=(–x+2)/(–x–2)

y(–x) ≠ y(x) и y(–x) ≠ –y(x)


Находим производную:

y`=((x+3)`·(x–2)–(x+3)·(x–2)`)/(x–2)²

y`=(1·(x–2)–(x+3)·1)/(x–2)²

y`=(–5)/(x–2)²

y` < 0 на (– ∞;2) и на (2;+ ∞ )

Функция убывает на (– ∞;2) и на (2;+ ∞ )

Нет точек экстремума.


y``=5·2/(x–2)³


y``> 0 на (2;+ ∞ )

на (2;+ ∞ ) кривая выпукла вниз ∪ ( как парабола y=x², у которой y``=2 >0)


y``< 0 на (– ∞; 2 )

на (– ∞; 2 ) кривая выпукла вверх ∩ ( как парабола y=–x², у которой y``=–2<0)



График см. рис.