Задача 66316 ...
Условие
Решение
формула
sin^2x+cos^2x=1
(4/5)^2+cos^2x=1 ⇒ cos^2x=1-(4/5)^2=1-(16/25)=9/25
cosx= ± 3/5
Так как 0 < x < π/2 - первая четверть, то cosx=[b]3/5[/b] ⇒
tgx=sinx/cosx=4/3
По формуле: [r][m]tg2 α =\frac{2tg α}{1-tg^2 α}[/m][/r]
[m]tg2x =\frac{2\cdot \frac{4}{3}}{1-(\frac{4}{3})^2}[/m]
[m]tg2x =\frac{ \frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}}[/m]
[m]tg2x =\frac{ \frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}}[/m]
[m]tg2x =-\frac{24}{7}[/m]
[m]ctg2x=\frac{1}{tg2x}[/m]
[m]ctg2x=-\frac{7}{24}[/m]
По формуле: [r]cos2 α =cos^2 α -sin^2 α [/r]
cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
Так как sin^2(x/2)=1-cos^2(x/2)
cosx=2cos^2(x/2)-1 ⇒ cos^2(x/2)=(1+cosx)/2=(1+(3/5))/2=[b]0,8[/b]
2.
По формуле: [r][m]sin α \cdot cos β =\frac{sin( α + β )+sin( α - β )}{2}[/m][/r]
[m]2sin 25^{o} \cdot cos 35^{o} =2\frac{sin( 25 ° + 35 ° )+sin(25 ° - 35 ° )}{2}=sin60 ° +sin(-10 ° )[/m]
О т в е т .[m]2sin 25^{o} \cdot cos 35^{o}+sin10 ° =sin60 ° +sin(-10 ° )+sin10 ° =sin60 °-sin10 °+sin10 °=sin60 ° =\frac{\sqrt{3}}{2} [/m]
[b]Вариант 5[/b]
1) По формуле: [r][m] cos2α =cos^2α-sin^2α[/m][/r]
применяем справа налево:
cos^2 (π/8) – sin^2 (π/8) = cos2* (π/8) =cos(π/4)=√2/2
2) tg x = 3/4
π< x < 3π/2- третья четверть и синус и косинус имеют знак "-"
По формуле: [r][m]1+tg^2 α =\frac{1}{cos^2 α}[/m][/r]
[m]\frac{1}{cos^2x}=1+tg^2 x =1+(\frac{3}{4})^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}[/m]
[m]cos^2x=\frac{16}{25}[/m] ⇒ [m]cosx=\pm\frac{4}{5}[/m]
так как π< x < 3π/2- третья четверть и синус и косинус имеют знак "-"
[m]cosx=-\frac{4}{5}[/m]
sin^2 x = 1 – cos^2 x = 1 – (16/25) = 9/25
sin x = ± 3/5
так как π< x < 3π/2- третья четверть и синус и косинус имеют знак "-"
[m]sinx=-\frac{3}{5}[/m]
sin 2x = 2sin x·cos x = 2(–3/5)(–4/5) = 24/25
По формуле: [r][m]sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2}[/m][/r]
[m]sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2}=\frac{9}{10}[/m]
[m]sin\frac{x}{2}= ± \frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
так как π< x < 3π/2 ⇒ π/2< x/2 < 3π/4 - первая четверть и
синус имеет знак "+"
[m]sin\frac{x}{2}= \frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
3)
cos 97° + cos 83°
По формуле: [r][m]cos α + cos β =2cos\frac{ α + β }{2}\cdot cos\frac{ α - β }{2}[/m][/r]
[m]cos 97° + cos 83° =2cos\frac{ 97° + 83° }{2}\cdot cos\frac{ 97° - 83° }{2}=2cos \frac{180°}{2}\cdot cos\frac{14°}{2}=2cos90 ° cos7 ° =2\cdot 0\cdot cos7 °=0 [/m]
cos 90° = 0
[b]Вариант 6[/b]
1) По формуле: [r][m]tg2 α =\frac{2tg α}{1-tg^2 α}[/m][/r]
тогда
[m]\frac{1}{2}tg2 α =\frac{tg α}{1-tg^2 α}[/m]
[m]\frac{tg 15°}{1-tg^215°}=\frac{1}{2}tg (2\cdot 15°)=\frac{1}{2}tg 30°=\frac{\sqrt{3}}{6} [/m]
2) ctg x = –4/3
По формуле: [r][m]1+сtg^2 α =\frac{1}{sin^2 α}[/m][/r]
[m]\frac{1}{sin^2x}=1+tg^2 x =1+(-\frac{4}{3})^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}[/m]
[m]sin^2x=\frac{9}{25}[/m]
[m]sin x=±\frac{3}{5}[/m]
так как 3π/2< x < 2π - четвертая четверть
синус имеет знак "-"
[m]sin x=-\frac{3}{5}[/m]
По формуле: [r]cos^2x=1-sin^2x[/r]
cos^2x=1-(9/25)=16/25
[m]cos x=±\frac{4}{5}[/m]
так как 3π/2< x < 2π - четвертая четверть
косинус имеет знак "+"
[m]cos x=\frac{4}{5}[/m]
[m]cos 2x = cos^2 x – sin^2 x = \frac{16}{25} – \frac{9}{25}=\frac{7}{25}[/m]
По формуле: [r][m]cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{2}[/m][/r]
[m]cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\frac{4}{5})}{2}=\frac{9}{10}[/m]
[m]cos\frac{x}{2}= ± \frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
так как 3π/2< x < 2π, тогда так как 3π/4< x < π - третья четверть, косинус имеет знак "-"
[m]cos\frac{x}{2}= - \frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
3)[m]\frac{ cos12°−cos48°}{sin18°}[/m]
По формуле: [r][m]cos α - cos β = - 2sin\frac{ α + β }{2}\cdot sin\frac{ α - β }{2}[/m][/r]
[m]cos12°−cos48°=-2sin\frac{ 12 ° + 48 ° }{2}\cdot sin\frac{ 12 ° - 48 ° }{2}[/m]
[m]cos12°−cos48°=-2sin30 ° \cdot sin(-18 °)=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot (-sin18 °)=sin18 ° [/m]
[m]\frac{ cos12°−cos48°}{sin18°}=\frac{ sin18 ° }{sin18°}=1[/m]
[b]Вариант 7[/b]
1)
По формуле: [r][m]tg2 α =\frac{2tg α}{1-tg^2 α}[/m][/r]
тогда
[m]\frac{1}{2}tg2 α =\frac{tg α}{1-tg^2 α}[/m]
[m]\frac{tg\frac{π}{12}}{1−tg^2\frac{π}{12}}=\frac{1}{2}tg (2\cdot\frac{π}{12})=\frac{1}{2}tg \frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}[/m]
2) cos x = 0,8
sin^2 x = 1 – cos^2 x = 1 – (0,8)^2 = 1 – 0,64 = 0,36
sinx= ± 0,6
так как 0<x < π/2, а это первая четверть, синус имеет знак "+"
cosx=0,6
[m]tg x = \frac{sin x}{cos x} =\frac{ 0,6}{0,8} = \frac{3}{4}[/m]
Так как
[m]tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}[/m]
[m]tg2x=\frac{2\cdot \frac{3}{4}}{1-(\frac{3}{4})^2}[/m]
[m]tg2x=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}[/m]
[m]tg2x=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}[/m]
[m]tg2x=\frac{24}{7}[/m]
[m]ctg2x=\frac{7}{24}[/m], так как tgx*ctgx=1
По формуле: [r][m]cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+cosx}{2}[/m][/r]
[m]cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+0,8)}{2}=\frac{9}{10}[/m]
[m]cos\frac{x}{2}= ±\frac{3}{\sqrt{10}} [/m]
так как 0< x < π/2, тогда так как 0< x < π/4 - первая четверть, косинус имеет знак "+"
[m]cos\frac{x}{2}= \frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
3)
[m]\frac{ sin35°+sin25°}{cos5°}[/m]
По формуле: [r][m]sin α + sin β =2sin\frac{ α + β }{2}\cdot cos\frac{ α - β }{2}[/m][/r]
[m]sin 35°+ sin 25° =2sin\frac{ 35° + 25° }{2}\cdot cos\frac{35° -25° }{2}=2 sin30 °\cdot cos 5 ° [/m]
[m]\frac{ sin35°+sin25°}{cos5°}=\frac{2 sin30 °\cdot cos 5 °}{cos5°}=2sin30 °=2\cdot \frac{1}{2}=1 [/m]
[b]Вариант 8[/b]
По формуле: [r][m]sin2 α=2 sin α cos α [/m][/r] ⇒ [m] sin α cos α =\frac{1}{2}sin2 α [/m]
[m]sin\frac{π}{12}cos\frac{π}{12}-\frac{1}{4}= \frac{1}{2}sin\frac{π}{6}-\frac{1}{4}= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0[/m]
Все решения
1) cos^2 (π/8) - sin^2 (π/8) = cos (π/4) = sqrt(2)/2
2) tg x = 3/4; x ∈ (π; 3π/2)
sin x < 0; cos x < 0
1/cos^2 x = 1 + tg^2 x = 1 + 9/16 = 25/16
cos^2 x = 16/25; cos x = -4/5
sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - 16/25 = 9/25; sin x = -3/5
sin 2x = 2sin x*cos x = 2(-3/5)(-4/5) = 24/25
Так как x ∈ (π; 3π/2), то x/2 ∈ (π/2; 3π/4) - 2 четверть.
sin (x/2) > 0
[m]sin (x/2) = \sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}} = \sqrt{\frac{1+4/5}{2}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}[/m]
3) cos 97° + cos 83°
Есть формула:
[m]cos(a) + cos(b) = 2cos \frac{a+b}{2}cos \frac{a-b}{2}[/m]
cos 97° + cos 83° = 2cos(180°/2)*cos(14°/2) =
= 2cos 90°*cos 7° = 2*0*cos 7° = 0
Вариант 6.
1) [m]\frac{tg(15°)}{1 - tg^2(15°)} = tg(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}[/m]
2) ctg x = -4/3; x ∈ (3π/2; 2π); sin x < 0; cos x > 0
1/sin^2 x = 1 + ctg^2 x = 1 + 16/9 = 25/9
sin^2 x = 9/25; sin x = -3/5
cos^2 x = 1 - sin^2 x = 1 - 9/25 = 16/25; cos x = 4/5
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x = 16/25 - 9/25 = 7/25
Так как x ∈ (3π/2; 2π), то x/2 ∈ (3π/4; π) - 2 четверть.
cos (x/2) < 0
[m]cos (x/2) = -\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}} = -\sqrt{\frac{1+4/5}{2}} = - \sqrt{\frac{9}{10}} = - \frac{3\sqrt{10}}{10}[/m]
3) [m]\frac{cos(12°) - cos(48°)}{sin(18°)}[/m]
Есть формула:
[m]cos(a) - cos(b) = -2sin \frac{a+b}{2}sin \frac{a-b}{2}[/m]
[m]\frac{cos(12°) - cos(48°)}{sin(18°)} = \frac{-2sin(30°)sin(-18°)}{sin(18°)} = \frac{2*1/2sin(18°)}{sin(18°)}=1[/m]
Вариант 7.
1) [m]\frac{tg(π/12)}{1 - tg^2(π/12)} = tg(π/6) = \frac{\sqrt{3}}{/m]
2) cos x = 0,8; x ∈ (0; π/2); sin x > 0; cos x > 0
sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36
sin x = 0,6
tg x = sin x / cos x = 0,6/0,8 = 3/4
[m]ctg(2x) = \frac{1-tg^2(x)}{2tg(x)} = \frac{1-9/16}{3/2} = \frac{7/16}{3/2} = \frac{7}{24}[/m]
Так как x ∈ (0; π/2), то x/2 ∈ (0; π/4) - 1 четверть.
cos (x/2) > 0
[m]cos (x/2) = \sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}} = \sqrt{\frac{1+0,8}{2}} = \sqrt{0,9} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}[/m]
3) [m]\frac{sin(35°) + sin(25°)}{cos(5°)}[/m]
Есть формула:
[m]sin(a) + sin(b) = 2sin \frac{a+b}{2}cos \frac{a-b}{2}[/m]
[m]\frac{sin(35°) + sin(25°)}{cos(5°)} = \frac{2sin(30°)cos(5°)}{cos(5°)} =2sin(30°) = 2*1/2 = 1[/m]
Вариант 8.
[m]sin \frac{π}{12}cos \frac{π}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}*sin \frac{π}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}*\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 0[/m]