Задача 66315 F(x)=x^4-8x^2+5 исследовать функцию и...
Условие
Решение
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является чётной, так как
у(-х)=(-x)^4-8*(-x)^2+5=x^4-8x^2+5
y(-x) = y(x)
3)lim_(x→ +∞ ))f(x)=+∞
lim_(x→-∞ )f(x)=+∞
Горизонтальных асимптот нет
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→∞ )(x^4-8x^2+5)/x=∞
4)
Точки пересечения с осью Ох:
f(x)=0
x^4–8x^2+5=0
биквадратное уравнение
D=64-20=44
sqrt(44)=sqrt(4*11)=sqrt(4)*sqrt(11)=2sqrt(11)
x^2=(8-2sqrt(11))/2; x^2=(8+2sqrt(11))/2;
x^2=4-sqrt(11); x^2=4+sqrt(11);
x_(1,2)= ± sqrt(4-sqrt(11));x_(3,4)= ± sqrt(4+sqrt(11));
Четыре точки пересечения с осью Ох:
(-sqrt(4-sqrt(11);0); (sqrt(4-sqrt(11);0);(-sqrt(4+sqrt(11);0); (sqrt(4+sqrt(11);0);
При х=0 у=5
(0;5) - точка пересечения с осью Оу.
Исследование функции с помощью производной
5)
y`=(x^4-8x^2+5)`
y`=4x^3-16x;
y`=0
4x^3-16x=0
4x*(x^2-4)=0
x=0; x= ± 2
Знак производной
___-___ (-2) __+__ (0) -____ (2) __+_
x=-2 и х=2 – точки минимума, производная меняет знак с - на +
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на -
y`>0 при x∈ (-2;0) и x∈ (2;+ ∞)
Функция возрастает при x∈ (-2;0) и x∈ (2;+ ∞)
y`<0 при x∈ (- ∞ ;-2) и х ∈ (0;2)
Функция убывает при x∈ (- ∞ ;-2) и х ∈ (0;2)
7)y``=(4x^3-16х)`=12x^2-16
y`` =0
12x^2-16=0
4(3x^2-4)=0
x^2=4/3
x= ± 2/sqrt(3) - точки перегиба
функция выпукла вниз ( ∪ )
на (- ∞ ;-2/sqrt(3)) и на (2/sqrt(3);+ ∞ )
функция выпукла вверх ( ∩ )
на (-2/sqrt(3);2/sqrt(3))
