Задача 66315 F(x)=x^4-8x^2+5 исследовать функцию и...

Пупа

19 октября 2022 г. в 10:57

F(x)=x⁴–8x²+5 исследовать функцию и построить график

exponenta

19 октября 2022 г. в 13:39

★

1.
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет


2) Функция является чётной, так как

у(–х)=(–x)⁴–8·(–x)²+5=x⁴–8x²+5

y(–x) = y(x)


3)lim_{x→ +∞} )f(x)=+∞
lim_x→–∞ f(x)=+∞

Горизонтальных асимптот нет

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_x→∞ (x⁴–8x²+5)/x=∞

4)
Точки пересечения с осью Ох:
f(x)=0

x⁴–8x²+5=0

биквадратное уравнение

D=64–20=44

√44=√4·11=√4·√11=2√11

x²=(8–2√11)/2; x²=(8+2√11)/2;

x²=4–√11; x²=4+√11;

x_1,2= ± √4–√11;x_3,4= ± √4+√11;

Четыре точки пересечения с осью Ох:

(–√4–√11;0; (√4–√11;0;(–√4+√11;0; (√4+√11;0;



При х=0 у=5
(0;5) – точка пересечения с осью Оу.



Исследование функции с помощью производной

5)
y`=(x<sup>4</sup>–8x<sup>2</sup>+5)`

y`=4x³–16x;

y`=0

4x³–16x=0

4x·(x²–4)=0

x=0; x= ± 2


Знак производной
___–___ (–2) __+__ (0) –____ (2) __+_

x=–2 и х=2 – точки минимума, производная меняет знак с – на +

x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –


y`>0 при x∈ (–2;0) и x∈ (2;+ ∞)
Функция возрастает при x∈ (–2;0) и x∈ (2;+ ∞)

y`<0 при x∈ (– ∞ ;–2) и х ∈ (0;2)
Функция убывает при x∈ (– ∞ ;–2) и х ∈ (0;2)


7)y``=(4x³–16х)`=12x²–16

y`` =0

12x²–16=0

4(3x²–4)=0

x²=4/3

x= ± 2/√3 – точки перегиба



функция выпукла вниз ( ∪ )

на (– ∞ ;–2/√3) и на (2/√3;+ ∞ )

функция выпукла вверх ( ∩ )

на (–2/√3;2/√3)