Задача 65906 ABCDA1B1C1D1 - прямой параллелепипед...

alyona

1 октября 2022 г. в 10:41

ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед 3·3·6
AK:KA1=1:2
CT:TD=1:2
DM:MD1=2:1
BN:NB1=1:5
Найти: 1) (KT^MN)
2) (NM^AA1D1
3) (KT^CC1)

exponenta

1 октября 2022 г. в 11:46

★

1) (KT^MN)

KT=(0–3;3–0;2–2)=(–3;3;0) ⇒ |KT|=√(–3)²+3²+0²=√18=3√2

MN=(0–3;0–3;4–1)=(–3;–3;3) ⇒ |KT|=√(–3)²+(–3)²+3²=√27=3√3

Находим скалярное произведение векторов,заданных своими координатами

KT·MN=(–3)·(–3)+3·(–3)+0·(–3)=9–9+0=0


С другой стороны

KT·MN=|KT|·|MN|·cos ∠ (KT,MN) ⇒

cos ∠ (KT,MN)=(KT·MN)/(|KT|·|MN|)

cos ∠ (KT,MN)=0


∠ (KT,MN)=90 °




2) (NM^AA1D1)


MN=(3–0;3–0;1–4)=(3;3;–3)


Уравнение плоскости, проходящей через три точки А, А₁, D₁:

y=0

Значит, координаты нормально вектора этой плоскости

n_{А, А1, D1}=(0;1;0)

Угол между прямой и плоскостью– угол между прямой и ее проекцией на плоскость

( см. скрин)

sin( NM^AA1D1)=sin ∠ (MN, n_{А, А1, D1})=(3·0+3·1+(–3)·0)/(3√3·1)=1/√3


( NM^AA1D1)=arcsin(1/√3)


3) (KT^CC1)

KT=(0–3;3–0;2–2)=(–3;3;0) ⇒ |KT|=√(–3)²+3²+0²=√18=3√2


CC₁=(0–0;3–3;6–0)=(0;0;6) ⇒ |CC₁|=6

KT·CC₁=–3·0+3·0+0·6=0

∠( KT,CC₁)=90 °