Задача 65867 Найдите член разложения....
Условие
Решение
(a+b)^(n)=C^(0)_(n)a^(n)b^(0)+C^(1)_(n)a^(n-1)b^(1)+C^(2)_(n)a^(n-2)b^2+...+[red]C^(k)_(n)a^(n-k)b^(k)[/red] +...+C^(n)_(n)b^(n)
T_(k)=[red]C^(k)_(n)a^(n-k)b^(k) [/red]
Найдем k.
[m]a=\sqrt{y}[/m]
[m]b=-\sqrt[4]{y}[/m]
n=20
[m]T_{k}=C^{k}_{20}(\sqrt{y})^{20-k}(-\sqrt[4]{y})^{k}[/m]
По требованию задачи
[m](\sqrt{y})^{20-k}(\sqrt[4]{y})^{k}=y^7[/m]
Применяем свойства степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем:
[m]y^{\frac{20-k}{2}+\frac{k}{4}}=y^7[/m]
[m]\frac{20-k}{2}+\frac{k}{4}=7[/m] ⇒
[b]k=8[/b]
[m]T_{8}=C^{8}_{20}(\sqrt{y})^{20-8}(-\sqrt[4]{y})^{8}[/m]
[m]T_{8}=\frac{20!}{8!\cdot (20-8)!}y^7[/m]
[m]T_{8}=\frac{12!\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{8!\cdot 12!}y^7[/m]
[m]T_{8}=\frac{13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{8!}y^7[/m]