Задача 65867 Пример 3. Найдите член разложения,...

Анастасия_68782486

29 сентября 2022 г. в 12:01

Пример 3. Найдите член разложения, содержащий у⁷.

exponenta

29 сентября 2022 г. в 13:03

★

Формула бинома Ньютона:

(a+b)ⁿ=C⁰_naⁿb⁰+C¹_na^n–1b¹+C²_na^n–2b²+...+C^k_na^n–kb^k +...+Cⁿ_nbⁿ

T_k=C^k_na^n–kb^k


Найдем k.
[m]a=\sqrt{y}[/m]
[m]b=-\sqrt[4]{y}[/m]
n=20


[m]T_{k}=C^{k}_{20}(\sqrt{y})^{20-k}(-\sqrt[4]{y})^{k}[/m]

По требованию задачи

[m](\sqrt{y})^{20-k}(\sqrt[4]{y})^{k}=y^7[/m]

Применяем свойства степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем:

[m]y^{\frac{20-k}{2}+\frac{k}{4}}=y^7[/m]


[m]\frac{20-k}{2}+\frac{k}{4}=7[/m] ⇒

k=8

[m]T_{8}=C^{8}_{20}(\sqrt{y})^{20-8}(-\sqrt[4]{y})^{8}[/m]


[m]T_{8}=\frac{20!}{8!\cdot (20-8)!}y^7[/m]

[m]T_{8}=\frac{12!\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{8!\cdot 12!}y^7[/m]

[m]T_{8}=\frac{13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20}{8!}y^7[/m]