Задача 65470 ...

MilanaKarimova

2 сентября 2022 г. в 20:46

Найти сумму ряда

14) ∑ (2n+1)x²ⁿ / n!

exponenta

3 сентября 2022 г. в 09:21

★

Для решения задачи нужно применить разложение элементарных функций в степенные ряды.

Например,

[m]e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...[/m]

Тогда заменив х на x² получим

[m]e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+...+\frac{x^{2n}}{n!}+...[/m]


и понимаем, что правая часть почти похожа на ряд, данный в задаче.

Не хватает множителя (2n+1)

Надо от него избавиться.

Как?

Для этого существуют действия над степенными рядами: дифференцирование и интегрирование..

Понимаем, что

[m] ∫ (2n+1)\frac{x^{2n}}{n!}dx=(2n+1)\frac{1}{n!} ∫ x^{2n}dx=(2n+1)\frac{1}{n!}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}[/m]


Т.е. данный ряд получен дифференцированием ряда

[m] ∑ \frac{x^{2n+1}}{n!}=x\cdot ∑\frac{x^{2n}}{n!} [/m]



теперь ясно, что сумма ряда [m]S(x)=x\cdot e^{x^2}[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

3 сентября 2022 г. в 08:10

У функционального ряда (зависящего от x) нельзя найти сумму.
Обычно требуется найти область сходимости ряда или вычислить, какой функции он соответствует.
Я не знаю, как это решать, Вольфрам Альфа показал такую функцию:
[m]y(x) = 2e^{x^2}*x^2 - 3x^2 + e^{x^2} - 1[/m]
Область сходимости можно найти по признаку Даламбера:
Если [m]lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1[/m] – тогда ряд сходится.
[m]lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2(n+1) + 1)x^{2(n+1)}}{(n+1)!} : \frac{(2n + 1)x^{2n}}{n!} = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n + 3)x^{2n+2}*n!}{(n+1)!*(2n+1)x^{2n}} = [/m]
[m] = lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n + 3)x^2}{(n+1)(2n+1)} = x^2*lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n + 3)}{2n^2+3n+1} = 0[/m]
Этот предел равен 0 независимо от x, поэтому область сходимости:
x ∈ (–oo; +oo)