Задача 65463 ...

MilanaKarimova

2 сентября 2022 г. в 11:21

Найти область сходимости степенного ряда.
Σ (n!)² / (2n)! xⁿ, n=0 to ∞

exponenta

2 сентября 2022 г. в 15:55

★

Степенной ряд
∑_n=0 ^∞ a_nxⁿ

$a_{n}=\frac{(n!)^2}{(2n)!}$


$R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}=lim_{n → ∞ }\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=4$

(–R;R) – интервал сходимости.

Значит

(–4;4) – интервал сходимости данного ряда.

Чтобы указать область сходимости надо проверить сходимость на концах, т.е в точках x=–4 и x=4

При x=4

получаем знакоположительный числовой ряд

∑_n=0 ^∞ $\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot 4^{n}$


Признак Даламбера нельзя применить. Получим 1, в этом случае признак ответа не дает.

Стало быть и признак Коши тоже...

Скорее всего признаки Абеля–Дирихле следует применить.



При x=–4

получаем числовой ряд

∑_n=0 ^∞ $\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot (-4)^{n}$


∑_n=0 ^∞ $\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot (-1)^{n}\cdot 4^{n}$ – знакочередующийся ряд.


Признак Лейбница нельзя применить.

Скорее всего признаки Абеля–Дирихле следует применить.