Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 65463 Найти область сходимости степенного...

Условие

Найти область сходимости степенного ряда.

математика ВУЗ 262

Решение

Степенной ряд
∑_(n=0)^( ∞) a_(n)x^(n)

[m]a_{n}=\frac{(n!)^2}{(2n)!}[/m]


[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}=lim_{n → ∞ }\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=4[/m]

(-R;R) - интервал сходимости.

Значит

(-4;4) - интервал сходимости данного ряда.

Чтобы указать область сходимости надо проверить сходимость на концах, т.е в точках x=-4 и x=4

При x=4

получаем знакоположительный числовой ряд

∑_(n=0)^( ∞) [m]\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot 4^{n}[/m]


Признак Даламбера нельзя применить. Получим 1, в этом случае признак ответа не дает.

Стало быть и признак Коши тоже...

Скорее всего признаки Абеля-Дирихле следует применить.



При x=-4

получаем числовой ряд

∑_(n=0)^( ∞) [m]\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot (-4)^{n}[/m]


∑_(n=0)^( ∞) [m]\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot (-1)^{n}\cdot 4^{n}[/m] - знакочередующийся ряд.


Признак Лейбница нельзя применить.

Скорее всего признаки Абеля-Дирихле следует применить.

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК