Задача 65378 ...

sososjsnuaja

8 августа 2022 г. в 11:20

Найдите значение параметра φ, при котором система имеет ровно два решения

{ (x–3)² + (y+3√3)²=9
{ (x–4cosφ)² + (4–sinφ)²=1

exponenta

8 августа 2022 г. в 13:57

★

(x–3)²+(y–3√3)²=9 – уравнение окружности с центром (3;3√3) и радиусом 3

(x–4cos φ )²+(y–4sin φ )²=1– уравнение окружности с центром (4cos φ ;4sin φ ) и радиусом 1

При φ =0

получим уравнение

(x–4)²+y²=1– уравнение окружности с центром (4;0) и радиусом 1

Данная окружность и полученная не пересекаются.

При φ =30 °

получим уравнение

(x–2√2)²+(y–2)²=1– уравнение окружности с центром (2√3;2) и радиусом 1

На рисунке окружность сиреневого цвета. Она пересекается с данной окружностью в двух точка


Значит надо определить при каких значениях φ окружность

(x–4cos φ )²+(y–4sin φ )²=1 касается данной окружности (x–3)²+(y–3√3)²=9

В таком случае расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов 3+1=4.


И тогда условию будут удовлетворять те значения φ, при которых окружности расположены

между крайними положениями касания



[m]\sqrt{(3-4cos φ )^2+(3\sqrt{3}-4sin φ )^2}=4[/m]

Возводим в квадрат

[m](3-4cos φ )^2+(3\sqrt{3}-4sin φ )^2=16[/m]


Решаем ЭТО тригонометрическое уравнение.

Раскрываем скобки:

[m]9-24cos φ +16cos^2 φ +27-24\sqrt{3}sin φ +16sin^2 φ =16[/m]

Так как [m]16cos^2 φ +16sin^2 φ =16(cos^2 φ +sin^2 φ )=16\cdot 1=16[/m]


[m]24cos φ +24\sqrt{3}sin φ =36[/m]

[m]2cos φ +2\sqrt{3}sin φ =3[/m]

Решаем уравнение методом введения вспомогательного угла.


Делим обе части уравнения на 4:

([m] \sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4[/m])



[m]\frac{1}{2}cos φ +\frac{\sqrt{3}}{2}sin φ =\frac{3}{4}[/m]


Вводим вспомогательный угол, например, так:

[m]\frac{1}{2}=cos\frac{π}{3} [/m];[m]\frac{\sqrt{3}}{2}=sin\frac{π}{3} [/m] ⇒


Уравнение принимает вид:

[m]cos\frac{π}{3} cos φ +sin\frac{π}{3} sin φ =\frac{3}{4}[/m] ⇒

[m]cos( φ -\frac{π}{3} )=\frac{3}{4}[/m]

[m]( φ -\frac{π}{3} )= ± arccos \frac{3}{4}+2πn. n ∈ [/m]Z


[m] φ=\frac{π}{3} ± arccos \frac{3}{4}+2πn. n ∈ [/m]Z



О т в е т. [m] \frac{π}{3} - arccos \frac{3}{4}+2πn ≤ φ ≤\frac{π}{3} + arccos \frac{3}{4}+2πn, n ∈ [/m]Z

626fab9a354ab65fb2f43abb

8 августа 2022 г. в 22:02

Я всё–таки помогу решить это тригонометрическое уравнение. Уж больно оно интересное.
(3 – 4cos φ)² + (3√3 – 4sin φ)² = 16
9 – 24cos φ + 16cos² φ + 27 – 24√3sin φ + 16sin² φ = 16
Заметим, что:
16cos² φ + 16sin² φ = 16(cos² φ + sin² φ) = 16
Поэтому:
36 – 24cos φ – 24√3sin φ + 16 = 16
36 – 24cos φ – 24√3sin φ = 0
Сокращаем всё на 12 и переносим переменные направо:
3 = 2cos φ + 2√3sin φ
Переходим к половинному аргументу:
3cos² (φ/2) + 3sin² (φ/2) = 2cos² (φ/2) – 2sin² (φ/2) +
+ 4√3sin(φ/2)·cos(φ/2)
Переносим всё налево:
5sin² (φ/2) – 4√3sin(φ/2)·cos(φ/2) + cos² (φ/2) = 0
Делим всё на cos² (φ/2):
5tg² (φ/2) – 4√3·tg (φ/2) + 1 = 0
Получили квадратное уравнение относительно tg (φ/2).
Это уже доступно решить школьнику.