Задача 65330 при каком значении параметра а точки...
Условие
Решение
[m]px+qy+rz+t=0[/m]
Подставляем координаты точек
А(1, 3, 1)
[m]p\cdot 1+q\cdot 3+r\cdot 1+t=0[/m]
B(2,3,0)
[m]p\cdot 2+q\cdot 3 +r\cdot 0+t=0[/m]
С(–1,2,1)
[m]p\cdot (-1)+q\cdot 2+r\cdot 1+t=0[/m]
D (a+2, 4, 0)
[m]p\cdot (a+2)+q\cdot 4+r\cdot 0+t=0[/m]
Все четыре условия выполняются одновременно.
Решаем систему уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}p+3q+r+t=0\\2p+3q+t=0\\-p+2q+r+t=0\\p(a+2)+4q+t=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}t=-p-3q-r\\2p+3q+(-p-3q-r)=0\\-p+2q+r+(-p-3q-r)=0\\p(a+2)+4q+(-p-3q-r)=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}t=-p-3q-r\\p-r=0\\-2p-q=0\\p(a+1)+q-r=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}t=-p-3q-r\\p=r\\q=-2p ⇒ q=-2r\\r(a+1)-2r-r=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}t=-p-3q-r\\p=r\\q=-2p ⇒ q=-2r\\(a+1)-3=0\end {matrix}\right.[/m]
(a+1)-3=0
[red]a=2[/red]
2 способ
А(1, 3, 1), B(2,3,0), С(–1,2,1) и D (a+2, 4, 0)
Значит, векторы
vector{AB}=(2-1;3-3;0-1)=(1;0;-1)
vector{AC}=(-1-1;2-3;1-1)=(-2;-1;0)
vector{AD}=(a+2-1;4-3;0-1)=(a+1;1;-1)
лежат в одной плоскости, т.е. [i]компланарны.
[/i]
Условием компланарности является равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.
[m]\begin {vmatrix} 1&0&-1\\-2&-1&0\\a+1&1&-1\end {vmatrix}=0[/m]
Раскрываем определитель, получаем уравнение:
1+2-(a+1)=0
из которого
[red]a=2[/red]