Задача 65011 Исследовать функцию с помощью...

62a0699d72b82c17d138e8c2

8 июня 2022 г. в 12:20

Исследовать функцию с помощью производной и построить график: f(x)=–x⁴+8x²–10

exponenta

8 июня 2022 г. в 17:10

★

1.
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция является чётной
у(–х)=–(–x)⁴+8·(–x)²–10=–x⁴+8x²–10

y(–x) = y(x)

3)lim_{x→ +∞} )f(x)=–∞
lim_x→–∞ f(x)=–∞

Горизонтальных асимптот нет

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_x→∞ (–x⁴+8x²–10/x=∞


Исследование с помощью первой производной

y`=(–x<sup>4</sup>+8x<sup>2</sup>–10)`

y`=–4x³+16x;

y`=0

–4x³+16x=0

–4x(x²–4)=0

x=0; x= ± 2


Знак производной
___+___ (–2) __–__ (0) ___+__ (2) __–__

x=0 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

x= ± 2 – точки максимума, производная меняет знак с + на –


y`>0 при x∈ (– ∞ ;–2) и (0;2)
Функция возрастает при x∈ x∈ (– ∞ ;–2) и (0;2)

y`<0 при x∈ (– 2;0 )и при х ∈ (2;+ ∞)
Функция убывает при x∈ (– 2;0 )и при х ∈ (2;+ ∞)

Исследование с помощью второй производной

y``=(–4x³+16x)`=–12x²+16

y`` =0

–12x²+16=0

x²=4/3

x= ± 2√3/3 – точки перегиба


___+__ (–2√3/3) ____–____ (2√3/3) ___+__


y`` > 0 ⇒ функция выпукла вниз ( ∪) на (– ∞ ;(–2√3/3) ) и на ((2√3/3) ;+ ∞ )


y`` < 0 ⇒ функция выпукла вверх ( ∩) на (–(–2√3/3) ;(2√3/3) )