Задача 64996 ...
Условие
площадь фигуры, ограниченной линиями x2+y2–4x=0 x≥2
Решение
[m]y= ρ sin θ [/m]
[m]x^2+y^2=( ρ cos θ)^2+(ρ sin θ)^2= ρ ^2(cos^2 θ +sin^2 θ )= ρ^2 [/m]
Тогда уравнение кривой принимает вид
[m] ρ ^2-4\cdot ρ cos θ=0[/m]
[m] ρ=4\cdot cos θ[/m]
[m]ρ ≥ 0[/m] ⇒ [m] cos θ ≥ 0[/m] ⇒
θ в 4-ой и в 1-ой четверти ⇒ - (π/2) ≤ θ ≤ (π/2)
[m]0 ≤ ρ ≤ 4\cdot cos θ[/m]
[m]S= ∫ ∫_{D} dxdy ⇒ ∫_{-\frac{π}{2}} ^{\frac{π}{2}}( ∫_{0} ^{4cosθ } ρ d ρ )d θ =[/m]
[m]= ∫_{-\frac{π}{2}} ^{\frac{π}{2}}(\frac{ ρ^2}{2})|_{0} ^{4cosθ })d θ =[/m]
[m]=∫_{-\frac{π}{2}} ^{\frac{π}{2}}\frac{ (4cos θ )^2}{2}) θ =8∫_{-\frac{π}{2}} ^{\frac{π}{2}}cos^2 θd θ = [/m]
[m]=8∫_{-\frac{π}{2}} ^{\frac{π}{2}}\frac{1+cos2 θ }{2}d θ =(4 θ+2sin2 θ)| _{-\frac{π}{2}} ^{\frac{π}{2}}=4(\frac{π}{2}-(-\frac{π}{2})+2sin(2\cdot \frac{π}{2})-2sin(2\cdot (-\frac{π}{2}))=4π+2\cdot (0-0)=4π [/m]
В самом деле это площадь круга радиуса 2
S_(круга)=π*2^2=4π
