Задача 64949 B^2+1/b^2=7 2002+b^3+1/b^3=? ...
Условие
2002+b^3+1/b^3=?
Решение
Прибавим к обеим частям равенства 2:
b^2+[b]2[/b]+(1/2b^2)=7+[b]2[/b]
Получим квадрат суммы:
([m]b+\frac{1}{b}[/m] )^2=9
Находим
[m]b+\frac{1}{b}[/m]=-3 или [m]b+\frac{1}{b}[/m]=3
Так как
(a+b)^3=a^2+3a^2b+ab^2+b^3 ⇒
a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2
Выразим
[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(b+\frac{1}{b})^3-3\cdot b^2\cdot \frac{1}{b}-3\cdot b\cdot (\frac{1}{b})^2[/m]
[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(b+\frac{1}{b})^3-3 \cdot b\cdot (1/b)\cdot (b+\frac{1}{b})[/m]
При
[m]b+\frac{1}{b}=-3[/m]
[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(-3)^3-3\cdot (-3)=-27+9=-18[/m]
Тогда
[m]2002+b^3+(\frac{1}{b})^3=2002-18=1984[/m]
При
[m]b+\frac{1}{b}=3[/m]
[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(3)^3-3\cdot (3)=27-9=18[/m]
Тогда
[m]2002+b^3+(\frac{1}{b})^3=2002+18=2020[/m]
Все решения
b^2 + 1/b^2 = 7
Найти:
2002 + b^3 + 1/b^3 = ?
Решение.
Сначала найдем b + 1/b = x.
x^2 = (b + 1/b)^2 = b^2 + 1/b^2 + 2*b*1/b = 7 + 2 = 9
x1 = -sqrt(9) = -3; x2 = sqrt(9) = 3
1) b + 1/b = -3
(b + 1/b)^3 = (-3)^3 = -27
b^3 + 1/b^3 + 3b^2*1/b + 3b*1/b^2 = -27
b^3 + 1/b^3 + 3b + 3/b = -27
b^3 + 1/b^3 + 3(b + 1/b) = b^3 + 1/b^3 + 3(-3) = -27
b^3 + 1/b^3 = -27 + 9 = -18
[b]2002 + b^3 + 1/b^3 = [/b]2002 - 18 = [b]1984[/b]
2) b + 1/b = 3
(b + 1/b)^3 = 3^3 = 27
b^3 + 1/b^3 + 3b^2*1/b + 3b*1/b^2 = 27
b^3 + 1/b^3 + 3b + 3/b = 27
b^3 + 1/b^3 + 3(b + 1/b) = b^3 + 1/b^3 + 3*3 = 27
b^3 + 1/b^3 = 27 - 9 = 18
[b]2002 + b^3 + 1/b^3 = [/b]2002 + 18 = [b]2020[/b]
Ответ: 1) 1984; 2) 2020