Задача 64949 B^2+1/b^2=7 2002+b^3+1/b^3=? ...

Eliza

4 июня 2022 г. в 06:39

B²+1/b²=7
2002+b³+1/b³=?

exponenta

4 июня 2022 г. в 12:47

★

([m]b+\frac{1}{b}[/m] )²=b²+2+(1/2b²)



Прибавим к обеим частям равенства 2:

b²+2+(1/2b²)=7+2

Получим квадрат суммы:

([m]b+\frac{1}{b}[/m] )²=9

Находим

[m]b+\frac{1}{b}[/m]=–3 или [m]b+\frac{1}{b}[/m]=3


Так как
(a+b)³=a²+3a²b+ab²+b³ ⇒

a³+b³=(a+b)³–3a²b–3ab²


Выразим

[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(b+\frac{1}{b})^3-3\cdot b^2\cdot \frac{1}{b}-3\cdot b\cdot (\frac{1}{b})^2[/m]

[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(b+\frac{1}{b})^3-3 \cdot b\cdot (1/b)\cdot (b+\frac{1}{b})[/m]



При
[m]b+\frac{1}{b}=-3[/m]

[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(-3)^3-3\cdot (-3)=-27+9=-18[/m]

Тогда

[m]2002+b^3+(\frac{1}{b})^3=2002-18=1984[/m]



При
[m]b+\frac{1}{b}=3[/m]

[m]b^3+(\frac{1}{b})^3=(3)^3-3\cdot (3)=27-9=18[/m]

Тогда

[m]2002+b^3+(\frac{1}{b})^3=2002+18=2020[/m]

Удачник66

4 июня 2022 г. в 12:58

Дано:
b² + 1/b² = 7
Найти:
2002 + b³ + 1/b³ = ?
Решение.
Сначала найдем b + 1/b = x.
x² = (b + 1/b)² = b² + 1/b² + 2·b·1/b = 7 + 2 = 9
x1 = –√9 = –3; x2 = √9 = 3
1) b + 1/b = –3
(b + 1/b)³ = (–3)³ = –27
b³ + 1/b³ + 3b²·1/b + 3b·1/b² = –27
b³ + 1/b³ + 3b + 3/b = –27
b³ + 1/b³ + 3(b + 1/b) = b³ + 1/b³ + 3(–3) = –27
b³ + 1/b³ = –27 + 9 = –18
2002 + b³ + 1/b³ = 2002 – 18 = 1984

2) b + 1/b = 3
(b + 1/b)³ = 3³ = 27
b³ + 1/b³ + 3b²·1/b + 3b·1/b² = 27
b³ + 1/b³ + 3b + 3/b = 27
b³ + 1/b³ + 3(b + 1/b) = b³ + 1/b³ + 3·3 = 27
b³ + 1/b³ = 27 – 9 = 18
2002 + b³ + 1/b³ = 2002 + 18 = 2020

Ответ: 1) 1984; 2) 2020