Задача 64882 Решить неопределенные интегралы...
Условие
Решение
(1-x)^2=1-2x+x^2
[m]∫\frac{(1-x)^2}{x\sqrt[3]{x}}dx= ∫\frac{1-2x+x^2}{x\sqrt[3]{x}}dx= ∫ (\frac{1}{x\sqrt[3]{x}}-\frac{2x}{x\sqrt[3]{x}}+\frac{x^2}{x\sqrt[3]{x}})dx= ∫ x^{-\frac{4}{3}}dx-2 ∫ x^{-\frac{1}{3}}dx+ ∫x^{\frac{2}{3}}dx= [/m]
По формуле: [r][m] ∫ x^{ α }dx=\frac{x^{ α+1} }{ α+1 }[/m][/r]
[m]=\frac{x^{ -\frac{4}{3}+1} }{ -\frac{4}{3}+1 }-2\cdot\frac{x^{ -\frac{1}{3}+1} }{ -\frac{4}{3}+1 }+\frac{x^{ \frac{2}{3}+1} }{ \frac{2}{3}+1 }+C[/m] можно упростить
2.
x^4=u
d(u)=(x^4)`dx=4x^3dx
x^3dx=[m]\frac{1}{4}du[/m]
[m]∫ \frac{x^3}{cos^2x^4}dx=\frac{1}{4} ∫ \frac{d(x^4)}{cos^2(x^4)}=\frac{1}{4}tg(x^4)+C[/m]
3.
Интегрирование по частям:
[m] ∫ udv=u\cdot v- ∫ v\cdot du[/m]
u=2x-5 ⇒ du=2dx
dv=cos4xdx ⇒ v=[/m]\frac{1}{4}sin4x[/m]
[m] ∫ (2x-5)cos4x dx= (2x-5) \cdot \frac{1}{4}sin4x - ∫ \frac{1}{4}sin4x\cdot 2 dx=[/m]
[m]=\frac{1}{4}\cdot (2x-5) \cdot sin4x-\frac{1}{2} ∫ sin4xdx=\frac{1}{4}\cdot (2x-5) \cdot sin4x-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}(-cos4x)+C=[/m] можно упростить
4.
Выделяем полный квадрат
x^2+6x+8=x^2+6x+9-(x+3)^2-1
[m]∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+6x+8}}= ∫\frac{dx}{\sqrt{(x+3)^2-1}}=∫\frac{d(x+3)}{\sqrt{(x+3)^2-1}}=[/m]
табличный интеграл
[m]=\frac{1}{2}ln|\frac{x+3-1}{x+3+1}|+C[/m] можно упростить
