Задача 64868 Исследовать на непрерывность функции,...
Условие
Исследовать на непрерывность функции, найти точки разрыва и определить их тип. Построить схематические графики функций.
Решение
Область определения x–9≠ 0
Функция непрерывна во всех точках, кроме х=9 как частное непрерывных функций
x2–10x+9=(x–1)(x–9)
[m]\frac{x^2-10x+9}{x-9}=x-1[/m] при x ≠ 9
Находим предел слева,
limx →9–0f(x)=limx →9 –0(x–1)=8
Находим предел справа,
limx →9+0f(x)=limx →9 +0(x–1)=8
Предел слева равен пределу справа.
Функция имеет предел в точке, но не определена в этой точке
Значит,
x=9 – точка устранимого разрыва.
2)
Область определения x+0,8≠ 0
Функция непрерывна во всех точках, кроме х=–0,8
Находим предел слева, т.е.
при х+0,8 < 0
|x+0,8|=–(x+0,8)
Тогда
[m]y=\frac{-(x+0,8)}{x+0,8}[/m]
при x ≠ – 0,8
[m]y=-1[/m] при х < –0,8
limx →–0,8–0f(x)=limx →–2 –0(–1)=–1
Находим предел справа
при х+0,8 ≥ 0
|x+0,8|=x+0,8
Тогда
[m]y=\frac{x+0,8}{x+0,8}[/m]
при x ≠ – 0,8
[m]y=1[/m] при x >– 0,8
limx →–0,8 +0f(x)=limx →–0,8 +0(1)=1
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок (конечный) в точке x=–0,8
х=–0,8 – точка разрыва первого рода
3)
На (–∞ ;0] функция непрерывна, так как y=2х+5 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На (0;2) функция непрерывна, так как y=2x+3 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
На [2;+∞) функция непрерывна, так как y=7 непрерывна на (– ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0 и х=2
Исследуем точку х=0
Находим предел слева:
limx →–0f(x)=limx → –0(2х+5)=0+5=5
Находим предел справа:
limx → +0f(x)=limx → +0(2x+3)=0+3=3
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок (конечный) в точке x=0
х=0 – точка разрыва первого рода
Исследуем точку х=2
Находим предел слева:
limx →2–0f(x)=limx →2 –0(2х+3)=2·2+3=7
Находим предел справа:
limx →2 +0f(x)=limx →2 +07=7
f(2)=7
Предел слева равен пределу справа, равен значению функции в точке
х=2 – точка непрерывности
