Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 64857 Решить уравнение:...

Условие

Решить уравнение:

математика ВУЗ 247

Решение


Пусть
[m]w=-1-i[/m]

Если [m]w=x+iy [/m] ⇒ [m]|w|=\sqrt{x^2+y^2}[/m]


[m]|w|=|1-i|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}[/m]

Пусть
[m]argw=\phi[/m]

[m]sin(\phi)=\frac{y}{|w|}=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]


[m]cos(\phi)=\frac{x}{|w|}=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]

[m]\phi=-\frac{3π}{4}[/m]

[m]w=\sqrt{2}\cdot (cos(-\frac{3π}{4})+i\cdot sin(-\frac{3π}{4}))[/m]


[m]z^3=-1-i[/m]

[m]z^3=w[/m]

[m]z=\sqrt[3]{w}[/m]


Применяем формулу Муавра (cм. приложение)


[m]z=\sqrt[3]{-1-i}[/m]


[m]z=\sqrt[3]{\sqrt{2}}\cdot (cos\frac{-\frac{3π}{4}+2πk)}{3}+i\cdot sin\frac{-\frac{3π}{4}+2πk)}{3})[/m]


k=0,1,2

при k=0


[m]z_{1}=\sqrt[3]{\sqrt{2}}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4})}{3}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4})}{3})[/m]

при k=1

[m]z_{2}=\sqrt[3]{\sqrt{2}}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4}+2π)}{3}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4}+2π)}{3})[/m]

при k=2

[m]z_{3}=\sqrt[3]{\sqrt{2}}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4}+4π)}{3}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4}+4π)}{3})[/m]


Числа [m]z_{1}; z_{2};z_{3}[/m] - корни уравнения.

Их расположение на рисунке:

Рисуем окружность радиуса [m]\sqrt[3]{\sqrt{2}}=\sqrt[6]{2}[/m]



Откладываем луч [m]\frac{(-\frac{3π}{4})}{3}=-\frac{π}{4}[/m]

Пересечение окружности и луча - точка z_(1)


Откладываем луч [m]\frac{(-\frac{3π}{4}+2π)}{3}=\frac{5π}{12}[/m]

Пересечение окружности и луча - точка z_(2)

Откладываем луч [m]\frac{(-\frac{3π}{4}+4π)}{3}=\frac{13π}{12}[/m]

Пересечение окружности и луча - точка z_(3)


Эти три точки делят окружность на 3 равные части ( на 3 потому что корень третьей степени)

Написать комментарий

Категория

Меню

Присоединяйся в ВК