Задача 64832 y'=x+y линейное уравнение первого...
Условие
Решение
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка вида:
y`+p(x)*y=q(x)
p(x)=-1
q(x)=x
Решение y находим в виде произведения u*v
y=u·v
Находим
y`=u`·v+u·v`
Подставляем в уравнение:
u`·v+u·v`-u·v=x
u`·v+u(v`-v)=x
Выбираем функцию v так,чтобы выражение в скобках равнялось нулю
(это можно сделать так как функции u и v - произвольные)
1)v`-v=0
тогда
u`·v-u*0=x⇒
2)u`·v=x
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными
1)
v`-*v=0 ⇒ dv/dx=*v ⇒ dv/v=dx ⇒ ∫ dv/v=∫ dx
lnv=x
v=e^(x)
2)
u` *e^(x)=x
du=x * e^(-x) dx
u= ∫ x*e^(-x)dx= интегрируем по частям:
u=x*(-e^(-x))- ∫ (-e^(-x))dx + C
u=x*(-e^(-x))- (-e^(-x)) + C
y=u*v=(x*(-e^(-x))- (-e^(-x)) + C)*e^(x)
О т в е т. [b]y=u*v=-x- 1+ C*e^(x)[/b]
