Задача 64782 Решить систему уравнений и найти частные...
Условие
удовлетворяют приведенным начальным условиям. 
Решение
x`(t)=2x+y+cos t\\y`(t)=-x+3sint \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из второго уравнения [m]x[/m] и подставим в первое уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
(3sint-y`(t))`=2\cdot (3sint-y`(t))+y+cost\\x=3sint-y`(t)\end{matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение:
[m]3cost-y``(t)=6\cdot sint-2y`(t)+y+cost[/m]
[m]y``(t)-2y`(t)+y=2cost-6sint[/m]
получили линейное [i]неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Решаем однородное уравнение:
[m]y``(t)-2y`(t)+y=0[/m]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-2k+1=0[/m]
[m]k_{1}=k_{2}=1[/m] - корни действительные [i]кратные[/i]
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{t}[/m]
Правая часть [m]f(t)=2cost-6sint[/m]
Находим частное решение в виде:
y_(частное )=[m]Asint+Bcost[/m]
y`_(частное )=[m]Acost-Bsint[/m]
y``_(частное )=[m]-Asint-Bcost[/m]
и подставляем в неоднородное уравнение [m]y``(t)-2y`(t)+y=2cost-6sint[/m]
[m]-A\cdot sint-B\cdot cost -2Acost+2Bsint+Asint+Bcost=2cost-6sint [/m]
[m]2Bsint-2Acost=2cost-6sint[/m]
находим A и B:
2B=-6 ⇒ B=-3
-2A=2⇒ A=-1
y_(общее неоднородного)=y_(общее однородного)+y_(частное)=[m]C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{t}-sint-3cost[/m]
Находим
x_(общее)=[m]3sint-y`(t)[/m]
x_(общее)=[m]3sint-C_{1}e^{t} -C_{2}e^{t}-C_{2}\cdot t\cdot e^{t}+cost-3sint[/m]
x_(общее)=[m]-C_{1}e^{t} -C_{2}e^{t}+cost[/m]
Итак, общее решение системы:
[m]\left\{\begin{matrix}
x(t)=-C_{1}e^{t} -C_{2}e^{t}+cost\\y(t)=C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot t\cdot e^{t}-sint-3cost\end{matrix}\right.[/m]
Начальные условия:
x(0)=2
y(0)=-4
приводят к системе
[m]\left\{\begin{matrix}
x(0)=-C_{1}e^{0} -C_{2}e^{0}+cos0\\y(0)=C_{1}e^{0} +C_{2}\cdot 0\cdot e^{0}-sin0-3cos0\end{matrix}\right.[/m]
из которой найдем C_(1) и С_(2)
[m]\left\{\begin{matrix}
2=-C_{1}-C_{2}+1\\y-4=C_{1} -3\end{matrix}\right.[/m]
⇒
C_(1)
С_(2)
решайте
