Задача 64412 решить неравенство Тв„( 22 юв„ Х < ов( -...

Татьяна_451591915

5 мая 2022 г. в 08:10

решить неравенство Тв„( 22 юв„ Х < ов( – 3х) юв „2–х)

exponenta

5 мая 2022 г. в 09:50

★

ОДЗ:
$\left\{\begin {matrix}1-2x>0\\3+x>0\\3+x ≠1\\2-x>0\\x^2>0\\1-3x>0\\1-3x ≠ 1 \end {matrix}\right.$

$\left\{\begin {matrix}x<\frac{1}{2}\\x>-3\\x ≠-2\\x<2\\x ≠ 0\\x<\frac{1}{3}\\x ≠ 0 \end {matrix}\right.$ ⇒

$x ∈ (-3; -2)\cup(-2;0)\cup(0;\frac{1}{3})$


В условиях ОДЗ переход к другому основанию и применение свойств логарифмов:

$\frac{lg(1-2x)}{lg(3+x)} \cdot \frac{lgx^2}{lg(1-2x)} ≤ \frac{lg(1-3x)}{lg(3+x)}\cdot \frac{lg(2-x)}{lg(1-3x)}$


Так как

x ≠ 0 ⇔ $lg(1-2x) ≠ 0$ и $lg(1-3x) ≠ 0$

сокращаем и получаем неравенство:


$\frac{lgx^2}{lg(3+x)} ≤ \frac{lg(2-x)}{lg(3+x)}$

1) Если x ∈ (–3; –2), то 3 + x ∈ (0; 1), тогда lg(3+x) < 0
Умножаем неравенство на lg(3+x), при этом меняется знак:
lg(x²) >= lg(2–x)
Так как функция y = lg(x) строго возрастает, можно просто избавиться от логарифмов:
x² >= 2 – x
x² + x – 2 >= 0
(x + 2)(x – 1) >= 0
x ∈ (–oo; –2] U [1; +oo)
Но по ОДЗ x ∈ (–3; –2), поэтому:
x1 ∈ (–3; –2)
2) Если x ∈ (–2; 0) U (0; 1/3), то 3 + x > 1, тогда lg(3+x) > 0
Умножаем неравенство на lg(3+x), при этом знак остается:
lg(x²) <= lg(2–x)
Так как функция y = lg(x) строго возрастает, можно просто избавиться от логарифмов:
x² <= 2 – x
x² + x – 2 <= 0
(x + 2)(x – 1) <= 0
x ∈ [–2; 1]
Но по ОДЗ x ∈ (–2; 0) U (0; 1/3), поэтому:
x2 ∈ (–2; 0) U (0; 1/3)
Забавно получилось: решение неравенства – это более широкие промежутки, чем ОДЗ, поэтому окончательный ответ равен ОДЗ.

Ответ: x ∈ (–3; –2) U (–2; 0) U (0; 1/3)

Удачник66

5 мая 2022 г. в 16:07

Я все–таки напишу окончательное решение.
Мы остановились на том, что ОДЗ: x ∈ (–3; –2) U (–2; 0) U (0; 1/3)
И неравенство:
$\frac{lg(x^2)}{lg(3+x)} <= \frac{lg(2-x)}{lg(3+x)}$
1) Если x ∈ (–3; –2), то 3 + x ∈ (0; 1), тогда lg(3+x) < 0
Умножаем неравенство на lg(3+x), при этом меняется знак:
lg(x²) >= lg(2–x)
Так как функция y = lg(x) строго возрастает, можно просто избавиться от логарифмов:
x² >= 2 – x
x² + x – 2 >= 0
(x + 2)(x – 1) >= 0
x ∈ (–oo; –2] U [1; +oo)
Но по ОДЗ x ∈ (–3; –2), поэтому:
x1 ∈ (–3; –2)
2) Если x ∈ (–2; 0) U (0; 1/3), то 3 + x > 1, тогда lg(3+x) > 0
Умножаем неравенство на lg(3+x), при этом знак остается:
lg(x²) <= lg(2–x)
Так как функция y = lg(x) строго возрастает, можно просто избавиться от логарифмов:
x² <= 2 – x
x² + x – 2 <= 0
(x + 2)(x – 1) <= 0
x ∈ [–2; 1]
Но по ОДЗ x ∈ (–2; 0) U (0; 1/3), поэтому:
x2 ∈ (–2; 0) U (0; 1/3)
Забавно получилось: решение неравенства – это более широкие промежутки, чем ОДЗ, поэтому окончательный ответ равен ОДЗ.
Ответ: x ∈ (–3; –2) U (–2; 0) U (0; 1/3)