Задача 64212 ...

katrin

21 апреля 2022 г. в 21:12

Найдите все положительные а, при каждом из которых любое x из отрезка [ –1/2 ; 1/2] будет являться решением неравенства 3a^2x–5·16^x +14(4a)^x ≥ 0

exponenta

21 апреля 2022 г. в 21:30

★

Это однородное неравенство вида $a\cdot u^2+b\cdot u\cdot v+c\cdot v^2 ≥ 0$

Решают делением на u² ≠ 0 или v² ≠ 0

Разделим на$4^{2x}$

Получим неравенство:

$3\cdot (\frac{a}{4})^{2x}+14\cdot (\frac{a}{4})^{x}-5 ≥ 0$

Замена переменной

$(\frac{a}{4})^{x}=t$

D=196+60=256

$t_{1}=\frac{-14-16}{6}$ или $t_{2}=\frac{-14+16}{6}$

$t_{1}=\frac{-15}{3}$ или $t_{2}=\frac{1}{3}$

$(\frac{a}{4})^{x}≤ \frac{-15}{3}$ или $(\frac{a}{4})^{x} ≥ \frac{1}{3}$

первое неравенство не имеет решений


$(\frac{a}{4})^{x} ≥ \frac{1}{3}$

x ∈ [ –1/2 ; 1/2]

Исследуем.


Рассматриваем два случая

1)
$\frac{a}{4}>1$

Показательная функция возрастает

x ∈ [ –1/2 ; 1/2] ⇒ (\frac{a}{4})^{–\frac{1}{2}} ≤ y ≤ (\frac{a}{4})^{\frac{1}{2}}

$\left\{\begin {matrix}\frac{a}{4}>1\\(\frac{a}{4})^{-\frac{1}{2}} ≤ \frac{a}{4})^{x} ≤ (\frac{a}{4})^{\frac{1}{2}}\\(\frac{a}{4})^{x} ≥ \frac{1}{3}\end {matrix}\right.$

2)

$0<\frac{a}{4}<1$

Показательная функция убывает

$\left\{\begin {matrix}0<\frac{a}{4}<1\\(\frac{a}{4})^{\frac{1}{2}} ≤\frac{a}{4})^{x} ≤ (\frac{a}{4})^{-\frac{1}{2}}\\(\frac{a}{4})^{x} ≥ \frac{1}{3}\end {matrix}\right.$