Задача 64081 Решите неравенство:...

antoshkaxxr

16 апреля 2022 г. в 13:12

Решите неравенство: $4^x+(x-13)2^x-2x+22<0$

exponenta

16 апреля 2022 г. в 22:36

★

Замена переменной:
$2^{x}=t$

$t^2+(x-13)\cdot t+22-2x <0$

D=(x–13)²–4\cdot (22–2x)=x²–26x+169–88+8x=x²–18x+81=(x–9)²

t₁=(–(x–13)–(x–9))/2; t₂=(–(x–13)+(x–9))/2

t₁=(–(x–13)–(x–9))/2; t₂=(–(x–13)+(x–9))/2

t₁=–x+11; t₂=2

Рассматриваем два случая:

1) t₁ < t₂

тогда

$-x + 11 < 2^{x} < 2$

2)t₁ > t₂

тогда

$2 < 2^{x} < -x+11$

Получаем совокупность систем:

$\left\{\begin {matrix}-x+11<2\\-x + 11 < 2^{x} < 2\end {matrix}\right.$ ИЛИ $\left\{\begin {matrix}-x+11>2\\2 < 2^{x} < -x+11\end {matrix}\right.$

Первая система не имеет решений

Вторая система имеет решение (1;3)