Задача 64019 ...

Айша

12 апреля 2022 г. в 18:55

Решите уравнение:
(√2sin(x/2)–√2cos(x/2))²=5+sin(pi/4–x/2)

exponenta

12 апреля 2022 г. в 21:20

★

(√2sin(x/2)–√2cos(x/2))²=5+sin(pi/4)cos(x/2)–cos(π/4) sin(x/2)

(√2sin(x/2)–√2cos(x/2))²=5+(√2/2)·cos(x/2)–(√2/2)· sin(x/2)

(√2sin(x/2)–√2cos(x/2))²=5+(√2/2)·(cos(x/2)–sin(x/2))

(√2(sin(x/2)–cos(x/2)))²=5+(√2/2)·(cos(x/2)–sin(x/2))


2·(sin(x/2)–cos(x/2))²–(√2/2)·(cos(x/2)–sin(x/2))–5=0

Замена переменной
sin(x/2)–cos(x/2)=t

2t²–(√2/2)·t–5=0

4t²–(√2)·t–10=0

D=2+160=162=(9√2)²

t₁=(√2–9√2)/8; t₂=(√2+9√2)/8

t₁=–√2; t₂=5√2/4

Обратный переход

sin(x/2)–cos(x/2)=–√2 ИЛИ sin(x/2)–cos(x/2)=5√2/4

Решаем методом введения вспомогательного угла
(1/√2)·sin(x/2)–(1/√2)·cos(x/2)=–1

sin((x/2)–(π/4))=–1

(x/2)–(π/4)=–(π/2)+2πk, k ∈ Z

(x/2)=–(π/2)+(π/4)+2πk, k ∈ Z

(x/2)=–(π/4)+2πk, k ∈ Z

x=–(π/2)+4πk, k ∈ Z


sin(x/2)–cos(x/2)=5√2/4 – уравнение не имеет корней.

|sin(x/2)–cos(x/2)| ≤ √2

5√2/4 ≥ √2