Задача 63946 Решить дифференциал. y``+9y=6cos3x...

german

8 апреля 2022 г. в 05:41

Решить дифференциал. y``+9y=6cos3x

exponenta

8 апреля 2022 г. в 12:48

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:[m] y``+9y=0[/m]

Составляем характеристическое уравнение:
[m]k^2+9=0[/m]

[m]k_{1}=3i; k_{2}=3i[/m]– корни комплексно–сопряженные вида [m] α ± βi[/m]

[m]α =0; β=3[/m]

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_одн.=С₁·cos3x+C₂sin3x

Правая часть f(x)=6·cos3x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_част=x·(Asin3x+Bcos3x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_част=(Asin3x+Bcos3x) + x·(3A cos3x–3B sin3x)


y``_част=3A cos3x–3B sin3x)+(3A cos3x–3B sin3x)+x·(–9Asin3x–9Bcos3x)


подставляем в данное уравнение:
3A cos3x–3B sin3x)+(3A cos3x–3B sin3x)+x·(–9Asin3x–9Bcos3x) + 9 ·x·(Asin3x+Bcos3x)
=6·cos3x

3A cos3x–3B sin3x)+(3A cos3x–3B sin3x)=6·cos3x

6А=6

А=1
–6B=0
B=0

y_част=x·(1·sin3x+0·cos3x)

О т в е т.
Общее решение :
у=y_одн.+y_част=С₁·cos3x+C₂sin3x+x·sin3x