Задача 63909 ...

Kkova

5 апреля 2022 г. в 17:34

а) Решить уравнение sin2x / sin(3π/2–x) = √2

б) Отбор корней на отрезке [2π; 7π/2] решить с помощью неравенства

exponenta

5 апреля 2022 г. в 20:47

★

По формуле приведения:
sin((3π/2)–x)=–cosx

Уравнение можно записать в виде:
– (sin2x /cosx) = √2

–sin2x=√2cosx

cosx ≠ 0

–2sinx·cosx–√2cosx=0

cosx·(–2sinx–√2)=0

cosx ≠ 0

–2sinx–√2=0

sinx=–√2/2

a) О т в е т. (–1)^k(π/4)+πk, k ∈ Z


б) О т в е т. (–1)^k(π/4)+πk, k ∈ Z можно записать как две серии ответов

x=–(π/4)+2πn, n ∈ Z или x=–3π/4+2πn, n ∈ Z

Отбор корней с помощью неравенства:

2π ≤ –(π/4)+2πn ≤ 7π/2 ( делим на π)⇒ 2 ≤ –(1/4)+2n ≤ 7/2 ( умн на 4) ⇒ 8 ≤ –1+8n ≤ 14 ( прибавим 1)⇒

9 ≤ 8n ≤ 15

нет целых n, удовлетворяющих неравенству




2π ≤ –(3π/4)+2πn ≤ 7π/2 ( делим на π)⇒ 2 ≤ –(3/4)+2n ≤ 7/2 ( умн на 4) ⇒ 8 ≤ –3+8n ≤ 14 ( прибавим 3 )⇒

11 ≤ 8n ≤ 17

при n=2 неравенство верно: 11 ≤ 8·2 ≤ 17

x=–3π/4+2π·2=13π/4– корень принадлежащий указанному отрезку

О т в е т. б) 13π/4