Задача 63852 ...

ййййййййй

1 апреля 2022 г. в 19:09

Решить неравенства

exponenta

1 апреля 2022 г. в 19:25

★

ОДЗ:
$\left\{\begin {matrix}x>0\\4x+7>0\\log_{2}(4x+7) ≠0 \end {matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin {matrix}x>0\\x>-\frac{7}{4}\\(4x+7) ≠1\end {matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin {matrix}x>0\\x>-\frac{7}{4}\\x ≠- \frac{3}{2} \end {matrix}\right.$

[m]x ∈ (0;+ ∞ )


$\frac{log_{2}x}{log_{2}(4x+7)}<1$

$\frac{log_{2}x}{log_{2}(4x+7)}-1<0$

$\frac{log_{2}x-log_{2}(4x+7)}{log_{2}(4x+7)}<0$

$\frac{log_{2}\frac{x}{4x+7}}{log_{2}(4x+7)}<0$


$\left\{\begin {matrix}log_{2}\frac{x}{4x+7}>0\\log_{2}(4x+7)<0 \end {matrix}\right.$ ИЛИ $\left\{\begin {matrix}log_{2}\frac{x}{4x+7}<0\\log_{2}(4x+7)>0 \end {matrix}\right.$

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает

$\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}>1\\4x+7<1 \end {matrix}\right.$ ИЛИ $\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}<1\\4x+7>1 \end {matrix}\right.$

Решаем две системы

$\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}-1>0\\4x<-6 \end {matrix}\right.$ ИЛИ $\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}-1<0\\4x>-6 \end {matrix}\right.$

$\left\{\begin {matrix}\frac{x-4x-7}{4x+7}>0\\x<-1,5 \end {matrix}\right.$ ИЛИ $\left\{\begin {matrix}\frac{x-4x-7}{4x+7}<0\\x>-1,5 \end {matrix}\right.$

и получаем ответ.



2 способ

Метод рационализации логарифмических неравенств. Объединяет решение предыдущих двух систем в одно неравенство:


$\frac{log_{2}x}{log_{2}(4x+7)}<1$

$log_{4x+7}(x)<log_{4x+7}(4x+7)$

$(4x+7-1)(x-4x-7)< 0$

$(4x+6)(3x+7)> 0$

x < – 7/3 или x > –3/2

С учетом ОДЗ:

о т в е т. x > 0