Задача 63852 ...
Условие
[block](log2 x)/(log2 (4x + 7)) ≤ 1[/block]
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x>0\\4x+7>0\\log_{2}(4x+7) ≠0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x>0\\x>-\frac{7}{4}\\(4x+7) ≠1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x>0\\x>-\frac{7}{4}\\x ≠- \frac{3}{2} \end {matrix}\right.[/m]
[red][m]x ∈ (0;+ ∞ )[/red]
[m]\frac{log_{2}x}{log_{2}(4x+7)}<1[/m]
[m]\frac{log_{2}x}{log_{2}(4x+7)}-1<0[/m]
[m]\frac{log_{2}x-log_{2}(4x+7)}{log_{2}(4x+7)}<0[/m]
[m]\frac{log_{2}\frac{x}{4x+7}}{log_{2}(4x+7)}<0[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}log_{2}\frac{x}{4x+7}>0\\log_{2}(4x+7)<0 \end {matrix}\right.[/m] ИЛИ [m]\left\{\begin {matrix}log_{2}\frac{x}{4x+7}<0\\log_{2}(4x+7)>0 \end {matrix}\right.[/m]
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}>1\\4x+7<1 \end {matrix}\right.[/m] ИЛИ [m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}<1\\4x+7>1 \end {matrix}\right.[/m]
Решаем две системы
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}-1>0\\4x<-6 \end {matrix}\right.[/m] ИЛИ [m]\left\{\begin {matrix}\frac{x}{4x+7}-1<0\\4x>-6 \end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x-4x-7}{4x+7}>0\\x<-1,5 \end {matrix}\right.[/m] ИЛИ [m]\left\{\begin {matrix}\frac{x-4x-7}{4x+7}<0\\x>-1,5 \end {matrix}\right.[/m]
и получаем ответ.
2 способ
[i]Метод рационализации логарифмических неравенств.[/i] Объединяет решение предыдущих двух систем в одно неравенство:
[m]\frac{log_{2}x}{log_{2}(4x+7)}<1[/m]
[m]log_{4x+7}(x)<log_{4x+7}(4x+7)[/m]
[m](4x+7-1)(x-4x-7)< 0[/m]
[m](4x+6)(3x+7)> 0[/m]
x < - 7/3 или x > -3/2
С учетом ОДЗ:
о т в е т. [b]x > 0[/b]
