Задача 63774 2cos(2x-pi/3)-sinx=корень из 3sin2x...

Егор_541739082

24 марта 2022 г. в 09:24

2cos(2x–pi/3)–sinx=корень из 3sin2x

exponenta

24 марта 2022 г. в 10:00

★

$2cos(2x-\frac{π}{3})–sinx=\sqrt{ 3}sin2x$

По формуле: $cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin α$

$cos(2x-\frac{π}{3})=cos2x\cdot cos\frac{π}{3}+sin2x\cdot sin\frac{π}{3}=(cos2x)\cdot \frac{1}{2}+(sin2x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$


Уравнение можно записать в виде:

$2((cos2x)\cdot \frac{1}{2}+(sin2x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})–sinx=\sqrt{ 3}sin2x$


$(cos2x)+(sin2x)\cdot \sqrt{3}–sinx=\sqrt{ 3}sin2x$

$cos2x–sinx=0$

Так как $cos2x=1-2sin^2x$

то уравнение принимает вид:

$1-2sin^2x–sinx=0$

$2sin^2x+sinx-1=0$


Получили квадратное уравнение относительно $sinx$

D=1+8=9

$sinx=-1$ ⇒ $x=-\frac{π}{2}+2πn, n ∈$ Z


или

$sinx=frac{1}{2}$ ⇒ $x=(-1)^{k}\frac{π}{6}+πk, k ∈$ Z


О т в е т. $-\frac{π}{2}+2πn, n ∈$ Z; $(-1)^{k}\frac{π}{6}+πk, k ∈$ Z