Задача 63774 2cos(2x-pi/3)-sinx=корень из 3sin2x...
Условие
Решение
По формуле: [m]cos( α - β )=cos α cos β +sin α sin α [/m]
[m]cos(2x-\frac{π}{3})=cos2x\cdot cos\frac{π}{3}+sin2x\cdot sin\frac{π}{3}=(cos2x)\cdot \frac{1}{2}+(sin2x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
Уравнение можно записать в виде:
[m]2((cos2x)\cdot \frac{1}{2}+(sin2x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})–sinx=\sqrt{ 3}sin2x[/m]
[m](cos2x)+(sin2x)\cdot \sqrt{3}–sinx=\sqrt{ 3}sin2x[/m]
[m]cos2x–sinx=0[/m]
Так как [m]cos2x=1-2sin^2x[/m]
то уравнение принимает вид:
[m]1-2sin^2x–sinx=0[/m]
[m]2sin^2x+sinx-1=0[/m]
Получили квадратное уравнение относительно [m]sinx[/m]
D=1+8=9
[m]sinx=-1[/m] ⇒ [m]x=-\frac{π}{2}+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
или
[m]sinx=frac{1}{2}[/m] ⇒ [m]x=(-1)^{k}\frac{π}{6}+πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b]
О т в е т. [m]-\frac{π}{2}+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]; [m](-1)^{k}\frac{π}{6}+πk, k ∈ [/m] [b]Z[/b]