Задача 63745 Найдите объем тела, образованного...

Аня_256256540

22 марта 2022 г. в 19:02

Найдите объем тела, образованного вращением области, заключенной между кривыми
y=e⁴x+4,y=0,x=0,x=1
вокруг оси у

exponenta

23 марта 2022 г. в 18:04

★

$y=e^{4x}+4$ ⇒ $e^{4x}=y-4$ ⇒ $4x=ln(y-4)$ ⇒ $x=\frac{1}{4}ln(y-4)$

$x=0$ ⇒ $y=e^{4\cdot 0}+4=1+4=5$

$x=1$ ⇒ $y=e^{4\cdot 1}+4=e^{4}+4$

$V_{Oy}=π ∫_{5}^{e^{4}+4}(\frac{1}{4}ln(y-4))^2dy=\frac{π}{16} ∫_{5}^{e^{4}+4}ln^2(y-4))dy$

Интегрирование по частям

$u=ln^2(y-4)$ ⇒ $du=2ln(y-4)\cdot (ln(y-4))`dy=\frac{2ln(y-4)}{y-4}dy$

$dv=dy$ ⇒ $v=y$

$∫ln^2(y-4))dy=y\cdot ln^2(y-4)- ∫ y\cdot \frac{2ln(y-4)}{y-4}dy=$

еще раз по частям:

$u=ln(y-4)$ ⇒ $du= (ln(y-4))`dy=\frac{1}{y-4}dy$

$dv=\frac{y}{y-4}dy$ ⇒ $v= ∫\frac{y}{y-4}dy$... считайте